تبدیل نامعادله قدر مطلق به نامعادله دوگانه
آموزش گامبهگام اصل |u| ≤ a به -a ≤ u ≤ a برای مقادیر مثبت a همراه با مثالهای متنوع
خلاصه: در این مقاله با زبانی ساده و با استفاده از مثالهای گوناگون، روش تبدیل یک نامعادله قدر مطلق به نامعادله دوگانه را بررسی میکنیم. میآموزیم که چرا برای a>0، عبارت |u| ≤ a معادل -a ≤ u ≤ a است. این اصل پایهای در حل معادلات و نامعادلات1 قدر مطلق، کاربردهای عملی زیادی در ریاضیات دبیرستان و حتی مسائل روزمره دارد. با مطالعه این مقاله، مفاهیمی مانند فاصله از مبدأ، بازههای بسته و روش گامبهگام حل نامعادلات قدر مطلق را به طور کامل فرا خواهید گرفت.
منطق پشت پرده: قدر مطلق به عنوان فاصله از مبدأ
برای درک عمیق تبدیل |u| ≤ a به -a ≤ u ≤ a، ابتدا باید مفهوم قدر مطلق را از دیدگاه هندسی درک کنیم. قدر مطلق یک عدد حقیقی مانند u که با |u| نشان داده میشود، در واقع فاصلهٔ آن عدد تا نقطهٔ صفر (مبدأ) روی خط اعداد است. فاصله همیشه مقداری نامنفی (صفر یا مثبت) است.حال اگر این فاصله قرار باشد از یک عدد مثبت مانند a بیشتر نباشد (یعنی |u| ≤ a)، به این معناست که عدد u نمیتواند بیش از a واحد از مبدأ فاصله داشته باشد. به عبارت دیگر، u باید جایی بین -a و +a روی خط اعداد قرار گیرد. خود نقاط -a و +a نیز که دقیقاً به اندازه a واحد از مبدأ فاصله دارند، در این نامعادله صدق میکنند (چون علامت ≤ اجازهٔ تساوی را نیز میدهد).
نکته کلیدی عبارت |u| ≤ a (با شرط a>0) یک بازهٔ بسته2 روی خط اعداد را توصیف میکند که از -a شروع و به +a ختم میشود و خود این دو نقطه نیز شامل بازه هستند.
روش گامبهگام تبدیل |u| ≤ a به نامعادله دوگانه
برای تبدیل یک نامعادله قدر مطلق به شکل دوگانه، میتوان از یک الگوی ساده و گامبهگام پیروی کرد. فرض کنید با نامعادله |u| ≤ a مواجه هستیم و میدانیم a یک عدد مثبت است.- گام اول: علامت قدر مطلق را حذف کنید.
- گام دوم: یک نامعادله دوگانه به شکل -a ≤ u ≤ a بنویسید.
- گام سوم: اگر u خود یک عبارت جبری (مانند 2x-1) باشد، آن عبارت را در وسط نامعادله دوگانه قرار دهید: -a ≤ (عبارت) ≤ a.
- گام چهارم: نامعادله دوگانه را با انجام عملیات جبری (جمع، تفریق، ضرب، تقسیم) روی هر سه بخش آن (سمت چپ، وسط، سمت راست) حل کنید تا متغیر مورد نظر به تنهایی در وسط باقی بماند.
مثال عددی ساده: فرض کنید |x| ≤ 5. طبق قاعده، این نامعادله معادل است با -5 ≤ x ≤ 5. یعنی تمام اعداد حقیقی بین -5 و 5 (خود این دو عدد نیز شامل میشوند) جواب این نامعادله هستند.
کاربرد عملی: حل نامعادلات پیشرفتهتر
این بار سراغ مثالهای پیچیدهتر میرویم که در آنها u یک عبارت خطی است. هدف، نشان دادن کاربرد عملی این تبدیل در حل مسائل واقعی ریاضی است.مثال ۱: نامعادله |2x - 3| ≤ 7 را در نظر بگیرید. از آنجایی که a=7 مثبت است، میتوانیم آن را به صورت زیر تبدیل کنیم:
-7 ≤ 2x - 3 ≤ 7
حال برای یافتن x، هدف ما خالی کردن وسط است. ابتدا به هر سه بخش نامعادله، عدد 3 را اضافه میکنیم:
-7 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 7 + 3 → -4 ≤ 2x ≤ 10
سپس تمام بخشها را بر عدد مثبت 2 تقسیم میکنیم (توجه کنید که تقسیم بر عدد مثبت، جهت نامعادله را تغییر نمیدهد):
-4/2 ≤ 2x/2 ≤ 10/2 → -2 ≤ x ≤ 5
بنابراین مجموعه جواب، بازهای از اعداد بین -2 و 5 است.
مثال ۲ (با کسر): نامعادله | \frac{x}{2} + 1 | ≤ 4 را حل کنید.
-4 ≤ \frac{x}{2} + 1 ≤ 4
ابتدا 1 را از هر سه بخش کم میکنیم:
-4 - 1 ≤ \frac{x}{2} + 1 - 1 ≤ 4 - 1 → -5 ≤ \frac{x}{2} ≤ 3
سپس تمام بخشها را در عدد مثبت 2 ضرب میکنیم:
-5 \times 2 ≤ \frac{x}{2} \times 2 ≤ 3 \times 2 → -10 ≤ x ≤ 6
مجموعه جواب، بازه [-10, 6] است.
| نوع نامعادله | تبدیل معادل | نمایش روی خط اعداد |
|---|---|---|
| |u| ≤ a (با a>0) | -a ≤ u ≤ a | بازه بسته از -a تا a |
| |u| (با a>0) | -a | بازه باز از -a تا a (بدون نقاط انتهایی) |
| |u| ≥ a (با a>0) | u ≤ -a یا u ≥ a | دو نیمخط مجزا |
چالشهای مفهومی
۱. اگر a منفی باشد، باز هم میتوانیم از این قانون استفاده کنیم؟
پاسخ: خیر. قانون |u| ≤ a به -a ≤ u ≤ a فقط برای a>0 معتبر است. اگر a منفی باشد، از آنجایی که قدر مطلق همیشه غیرمنفی است، نامعادله |u| ≤ a با یک عدد منفی، هیچ جوابی ندارد (مگر اینکه خود u تعریف نشده باشد). به عنوان مثال، |x| ≤ -2 جوابی ندارد.
پاسخ: خیر. قانون |u| ≤ a به -a ≤ u ≤ a فقط برای a>0 معتبر است. اگر a منفی باشد، از آنجایی که قدر مطلق همیشه غیرمنفی است، نامعادله |u| ≤ a با یک عدد منفی، هیچ جوابی ندارد (مگر اینکه خود u تعریف نشده باشد). به عنوان مثال، |x| ≤ -2 جوابی ندارد.
۲. آیا این روش برای نامعادلات |u| هم به همین شکل است؟
پاسخ: بله، دقیقاً. تنها تفاوت در علامت نابرابری است. برای حالت اکیداً کوچکتر (-a . این بدان معناست که نقاط انتهایی بازه (یعنی -a و a) در مجموعه جواب قرار نمیگیرند.
پاسخ: بله، دقیقاً. تنها تفاوت در علامت نابرابری است. برای حالت اکیداً کوچکتر (-a . این بدان معناست که نقاط انتهایی بازه (یعنی -a و a) در مجموعه جواب قرار نمیگیرند.
۳. اگر عبارت داخل قدر مطلق، خود یک نامعادله بود، مثلاً |x^2 - 4| ≤ 5، باز هم میتوان از این قانون استفاده کرد؟
پاسخ: قطعاً. قانون مستقل از نوع عبارت u است. ابتدا مینویسیم: -5 ≤ x^2 - 4 ≤ 5. سپس با اضافه کردن 4 به همه بخشها داریم: -1 ≤ x^2 ≤ 9. حال این نامعادله دوگانه باید به دو بخش جداگانه تفسیر شود: x^2 ≥ -1 (که همیشه برقرار است) و x^2 ≤ 9. بخش دوم به نامعادله |x| ≤ 3 تبدیل میشود که جواب نهایی -3 ≤ x ≤ 3 را به دست میدهد.
پاسخ: قطعاً. قانون مستقل از نوع عبارت u است. ابتدا مینویسیم: -5 ≤ x^2 - 4 ≤ 5. سپس با اضافه کردن 4 به همه بخشها داریم: -1 ≤ x^2 ≤ 9. حال این نامعادله دوگانه باید به دو بخش جداگانه تفسیر شود: x^2 ≥ -1 (که همیشه برقرار است) و x^2 ≤ 9. بخش دوم به نامعادله |x| ≤ 3 تبدیل میشود که جواب نهایی -3 ≤ x ≤ 3 را به دست میدهد.
دیدیم که اصل تبدیل |u| ≤ a به -a ≤ u ≤ a برای a>0، یک ابزار قدرتمند و ساده برای تحلیل مسائل مرتبط با فاصله و قدر مطلق است. با درک مفهوم هندسی قدر مطلق به عنوان فاصله از مبدأ، و با دنبال کردن گامهای منظم ارائه شده، میتوان به راحتی هر نامعادله قدر مطلقی را به یک نامعادله دوگانه تبدیل و حل کرد. این تکنیک نه تنها در ریاضیات مدرسه، بلکه در بسیاری از زمینههای علمی و مهندسی که با عدم قطعیت و خطا سروکار دارند، کاربرد اساسی دارد.
پاورقیها
1نامعادله (Inequality): یک عبارت ریاضی است که نشان میدهد دو مقدار با یکدیگر برابر نیستند و رابطهٔ بزرگتر یا کوچکتری بین آنها برقرار است. نمادهای معمول شامل میشود. , ≤, ≥ هستند.
2بازه بسته (Closed Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو نقطهٔ a و b که خود نقاط a و b را نیز شامل میشود. با نماد [a, b] نمایش داده میشود.
2بازه بسته (Closed Interval): مجموعهای از اعداد حقیقی بین دو نقطهٔ a و b که خود نقاط a و b را نیز شامل میشود. با نماد [a, b] نمایش داده میشود.