فضای نمونهٔ آزمایش همزمان: ضرب دکارتی فضاهای نمونهٔ چند آزمایش که نتایج را به صورت زوج‌ها/چندتایی‌ها نشان می‌دهد.

بروزرسانی شده در: 17:34 1404/12/5 مشاهده: 16 دسته بندی: کپسول آموزشی

فضای نمونهٔ آزمایش همزمان: ضرب دکارتی فضاهای نمونه

چگونه با ترکیب چند آزمایش ساده، فضای نمونه‌ای بزرگ‌تر برای پیش‌بینی رویدادهای هم‌زمان می‌سازیم؟

در این مقاله با مفهوم فضای نمونه و توسعهٔ آن به آزمایش‌های همزمان آشنا می‌شویم. با استفاده از ضرب دکارتی فضاهای نمونه، می‌توان نتایج چند آزمایش را به صورت زوج‌ها یا چندتایی‌های مرتب نشان داد. یاد می‌گیریم که چگونه برای پرتاب دو سکه، تاس و سکه، یا حتی نظرسنجی‌های ساده، فضای نمونهٔ ترکیبی بسازیم و تعداد حالت‌های ممکن را محاسبه کنیم.

از یک آزمایش تا آزمایش همزمان

در دنیای پیرامون، بسیاری از پدیده‌ها به طور همزمان رخ می‌دهند. برای مثال، وقتی یک سکه و یک تاس را با هم پرتاب می‌کنیم، در حال انجام دو آزمایش به طور همزمان هستیم. در نظریهٔ احتمال، برای مدل‌سازی چنین موقعیت‌هایی، نیاز به تعریف یک فضای نمونهٔ جدید داریم که تمام حالت‌های ممکن برای این آزمایش ترکیبی را در بر بگیرد. این فضای نمونهٔ جدید چیزی نیست جز ضرب دکارتی فضاهای نمونهٔ هر یک از آزمایش‌ها به تنهایی.

فضای نمونه (Sample Space) مجموعه‌ای است از همهٔ نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی. برای مثال، در پرتاب یک سکه، فضای نمونه $ S_1 = \{ \text{شیر}, \text{خط} \} $ است. در پرتاب یک تاس سالم، فضای نمونه $ S_2 = \{ ۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶ \} $ می‌باشد. حال اگر این دو آزمایش را همزمان انجام دهیم، نتیجه به صورت یک زوج مرتب خواهد بود که عنصر اول آن نتیجهٔ پرتاب سکه و عنصر دوم آن نتیجهٔ پرتاب تاس است.

تعریف کلیدی ضرب دکارتی دو مجموعه A و B که با $ A \times B $ نشان داده می‌شود، مجموعهٔ تمام زوج‌های مرتبی است که مؤلفهٔ اول از A و مؤلفهٔ دوم از B انتخاب شده باشد. به زبان ساده‌تر: هر چیزی را با هر چیز دیگری جفت می‌کنیم.

به این ترتیب، فضای نمونهٔ آزمایش همزمان پرتاب سکه و تاس، حاصل ضرب دکارتی دو فضای نمونهٔ بالا است: $ S = S_1 \times S_2 = \{ (\text{شیر},۱), (\text{شیر},۲), ... , (\text{خط},۶) \} $ که تعداد اعضای آن برابر است با حاصل‌ضرب تعداد اعضای هر فضا، یعنی $ ۲ \times ۶ = ۱۲ $ حالت ممکن.

نمایش نتایج با زوج‌ها و چندتایی‌های مرتب

نمایش نتایج آزمایش‌های همزمان به صورت زوج‌های مرتب (برای دو آزمایش) یا چندتایی‌های مرتب (برای بیش از دو آزمایش) بسیار مهم است. ترتیب در اینجا نشان‌دهندهٔ این است که نتیجه به کدام آزمایش تعلق دارد. برای مثال، اگر سه آزمایش A، B و C را همزمان انجام دهیم، نتیجه به صورت سه‌تایی مرتب $ (a, b, c) $ نمایش داده می‌شود که در آن $ a \in S_A $، $ b \in S_B $ و $ c \in S_C $ هستند.

مثال عملی: فرض کنید یک کیف شامل سه کارت با اعداد $ ۱, ۲, ۳ $ و یک کیف دیگر شامل دو کارت با حروف $ A, B $ است. اگر از هر کیف یک کارت به طور همزمان بیرون بکشیم، هر نتیجه یک زوج مرتب مانند $ (۲, B) $ خواهد بود. فضای نمونه شامل $ ۳ \times ۲ = ۶ $ عضو است: $ \{ (۱,A), (۱,B), (۲,A), (۲,B), (۳,A), (۳,B) \} $.

جدول مقایسه: آزمایش تکی در مقابل آزمایش همزمان

نوع آزمایش	فضای نمونه (مثال)	تعداد نتایج ممکن	روش تشکیل
پرتاب یک سکه	{شیر، خط}	۲	مجموعه‌ای از نتایج یک آزمایش
پرتاب یک تاس	{۱,۲,۳,۴,۵,۶}	۶	مجموعه‌ای از نتایج یک آزمایش
پرتاب همزمان سکه و تاس	{(شیر,۱), ... , (خط,۶)}	۱۲	ضرب دکارتی دو فضای نمونه

کاربرد عملی: نظرسنجی و تحلیل سبد خرید

مفهوم آزمایش همزمان و فضای نمونهٔ حاصل از ضرب دکارتی، کاربردهای فراوانی در زندگی روزمره و علوم مختلف دارد. به عنوان مثال، یک فروشگاه اینترنتی را در نظر بگیرید که می‌خواهد رفتار مشتریان را بررسی کند. فرض کنید مشتری یا یک کتاب می‌خرد (کتاب) یا نمی‌خرد (نکتاب). همچنین، یا یک فیلم می‌خرد (فیلم) یا نمی‌خرد (نفیلم). آزمایش همزمان «خرید کتاب» و «خرید فیلم» توسط یک مشتری، یک فضای نمونهٔ چهارتایی ایجاد می‌کند: $ \{ (\text{کتاب}, \text{فیلم}), (\text{کتاب}, \text{نفیلم}), (\text{نکتاب}, \text{فیلم}), (\text{نکتاب}, \text{نفیلم}) \} $. تحلیل این فضا به فروشگاه کمک می‌کند تا بفهمد چند درصد مشتریان هر دو کالا را می‌خرند یا فقط یکی از آن‌ها را انتخاب می‌کنند.

در علوم سیاسی، برای نظرسنجی‌های همزمان دربارهٔ دو موضوع می‌توان از این مدل استفاده کرد. مثلاً نظر رأی‌دهندگان دربارهٔ «اقتصاد» (ضعیف/خوب/عالی) و «بهداشت» (ضعیف/خوب/عالی) به طور همزمان، فضای نمونه‌ای با $ ۳ \times ۳ = ۹ $ حالت ممکن خواهد بود که تحلیل دقیق‌تری از افکار عمومی به دست می‌دهد.

چالش‌های مفهومی

❓ اگر دو تاس را همزمان پرتاب کنیم، چرا فضای نمونه شامل ۳۶ نتیجه است در حالی که ما فقط ۱۱ جمع متفاوت (۲ تا ۱۲) داریم؟
پاسخ: فضای نمونه باید همهٔ نتایج قابل تشخیص را شامل شود. در پرتاب دو تاس، تاس اول و دوم قابل تشخیص هستند (مثلاً یکی آبی و دیگری قرمز). بنابراین نتیجه $(۱,۲)$ با نتیجه $(۲,۱)$ متفاوت است، اگرچه هر دو جمع‌شان $۳$ است. پس فضای نمونه با ۳۶ عضو، نمایشگر تمام این حالت‌های متمایز است.

❓ چگونه می‌توان فضای نمونه را برای آزمایش «انتخاب یک کارت از یک دستهٔ ۵۲ تایی و سپس انداختن یک سکه» به صورت همزمان مدل کرد؟
پاسخ: این دو آزمایش اگر چه پشت سر هم انجام می‌شوند، اما نتیجهٔ نهایی یک زوج مرتب است: (کارت انتخابی، نتیجهٔ پرتاب سکه). فضای نمونه، ضرب دکارتی مجموعهٔ ۵۲ کارت در مجموعهٔ {شیر، خط} است. بنابراین تعداد حالت‌های ممکن برابر $ ۵۲ \times ۲ = ۱۰۴ $ است.

❓ اگر سه آزمایش با فضاهای نمونه با اندازه‌های $n_1, n_2, n_3$ داشته باشیم، اندازهٔ فضای نمونهٔ آزمایش همزمان چقدر است؟
پاسخ: طبق اصل ضرب، اندازهٔ فضای نمونهٔ جدید برابر است با حاصل‌ضرب اندازهٔ فضاهای نمونهٔ هر آزمایش: $ n_1 \times n_2 \times n_3 $. به عنوان مثال، برای پرتاب یک سکه ($n_1=2$)، یک تاس ($n_2=6$) و انتخاب یک کارت از چهار رنگ ($n_3=4$)، تعداد حالت‌ها $ ۲ \times ۶ \times ۴ = ۴۸ $ خواهد بود.

✨ جمع‌بندی: در این مقاله یاد گرفتیم که برای مدل‌سازی آزمایش‌های همزمان، از ضرب دکارتی فضاهای نمونه استفاده می‌کنیم. نتیجه به صورت زوج‌ها یا چندتایی‌های مرتب نمایش داده می‌شود که ترتیب آن‌ها نشان‌دهندهٔ تعلق نتیجه به هر آزمایش است. تعداد کل حالت‌های ممکن در فضای نمونهٔ ترکیبی، از ضرب تعداد حالت‌های هر آزمایش به دست می‌آید. این مفهوم پایه‌ای، ابزاری قدرتمند برای تحلیل مسائل پیچیده‌تر در نظریهٔ احتمال و آمار است.

پاورقی

¹ فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی.

² ضرب دکارتی (Cartesian Product): عملی بر دو مجموعه که مجموعه تمام زوج‌های مرتب (a, b) به طوری که a از مجموعه اول و b از مجموعه دوم باشد را تولید می‌کند.

³ زوج مرتب (Ordered Pair): دو شیء که ترتیب آن‌ها اهمیت دارد، مانند (x, y).

⁴ آزمایش همزمان (Combined Experiment): انجام دو یا چند آزمایش به طور هم‌زمان یا در یک بستر.

پایهٔ یازدهم آمار و احتمال یازدهم فضای نمونهٔ آزمایش همزمان

جستجوهای پرتکرار

فضای نمونهٔ آزمایش همزمان: ضرب دکارتی فضاهای نمونهٔ چند آزمایش که نتایج را به صورت زوج‌ها/چندتایی‌ها نشان می‌دهد.