نمودار پیکانی: نمایش یک رابطه با دو مجموعه و پیکان‌هایی که اعضای متناظر را به هم وصل می‌کند

نمودار پیکانی: پلی بصری میان مجموعه‌ها

مبانی نمایش پیکانی: از تعریف تا اجرا

نمودار پیکانی که گاهی به آن نمودار تناظر نیز گفته می‌شود، روشی بصری برای نشان دادن ارتباط بین اعضای دو مجموعه است. فرض کنید مجموعه الف به عنوان دامنه³ و مجموعه ب به عنوان هم‌دامنه⁴ داریم. برای هر عضو از مجموعه الف که با عضوی در مجموعه ب ارتباط داشته باشد، یک پیکان از آن عضو در الف به سوی عضو متناظر در ب رسم می‌کنیم. این پیکان‌ها جهت رابطه را مشخص می‌کنند و به ما نشان می‌دهند که «چه کسی به چه کسی متصل است» . برای مثال، رابطه «برادر بزرگتر بودن» را در نظر بگیرید. مجموعه الف = {علی، رضا، محمود} و مجموعه ب = {سارا، حسن، زهرا} را داریم. اگر علی برادر بزرگتر سارا و رضا برادر بزرگتر حسن باشد، پیکانی از علی به سارا و پیکانی از رضا به حسن رسم می‌شود. محمود که برادر بزرگتر هیچ‌کدام نیست، هیچ پیکانی از او خارج نمی‌شود و زهرا نیز که کسی او را به عنوان برادر بزرگتر معرفی نکرده، پیکانی به سمت او وارد نخواهد شد. زوج مرتب: هر پیکان در نمودار، یک زوج مرتب (a,b) را نشان می‌دهد که در آن a∈الف و b∈ب.

گونه‌شناسی روابط در نمودار پیکانی

با نگاه به الگوی پیکان‌های ترسیم شده، می‌توان نوع رابطه را تشخیص داد. مهم‌ترین انواع رابطه که با این نمودار قابل شناسایی هستند عبارتند از: به عنوان نمونه، رابطه R = {(1,a), (1,b), (2,c)} را در نظر بگیرید. در نمودار پیکانی، از عضو 1 دو پیکان خارج می‌شود (به a و b) و از عضو 2 یک پیکان به c. طبق تعریف، این یک تابع نیست، زیرا شرط «یکتایی بودن خروجی» برای عضو 1 نقض شده است .

کاربرد عینی: رمزگشایی از یک نظرسنجی ساده

فرض کنید در یک کلاس درس، از دانش‌آموزان پرسیده شود که کدام یک از سه کتاب «الف»، «ب» و «ج» را مطالعه کرده‌اند. نتایج به این شرح است: - علی: کتاب‌های «الف» و «ب» - سارا: کتاب «الف» - رضا: کتاب «ج» - نگار: هیچ کتابی اگر مجموعه دانش‌آموزان را دامنه و مجموعه کتاب‌ها را هم‌دامنه در نظر بگیریم، نمودار پیکانی این رابطه به سادگی نشان می‌دهد که از علی دو پیکان (به الف و ب)، از سارا یک پیکان (به الف)، از رضا یک پیکان (به ج) خارج می‌شود و از نگار هیچ پیکانی خارج نمی‌شود. این نمودار به ما اجازه می‌دهد تا در یک نگاه بفهمیم: - ✔️ کدام کتاب محبوب‌تر است (بیشترین پیکان‌های ورودی) - ✔️ کدام دانش‌آموز بیشتر مطالعه کرده است - ✔️ این رابطه یک تابع نیست (چون علی دو کتاب خوانده)

چالش‌های مفهومی

پاورقی‌ها

• ¹رابطه (Relation): در ریاضیات، رابطه بین دو مجموعه، تناظر یا ارتباطی است که اعضای یک مجموعه را به اعضای مجموعه دیگر مرتبط می‌کند.
• ²تابع (Function): نوع خاصی از رابطه که در آن هر عنصر دامنه دقیقاً به یک عنصر هم‌دامنه مرتبط می‌شود.
• ³دامنه (Domain): مجموعه‌ای از عناصر که به عنوان شروع‌کننده رابطه در نظر گرفته می‌شوند.
• ⁴هم‌دامنه (Codomain): مجموعه‌ای که عناصر آن می‌توانند به عنوان مقصد پیکان‌ها ظاهر شوند.
• ⁵یک‌به‌یک (Injective): تابعی که در آن عناصر متمایز دامنه، به عناصر متمایز هم‌دامنه نگاشته می‌شوند.
• ⁶پوشا (Surjective): تابعی که در آن هر عنصر هم‌دامنه، دست‌کم یک بار به عنوان مقصد پیکان ظاهر می‌شود.