رخداد پیشامد: وقتی برآمد آزمایش در مجموعه مورد نظر ما قرار میگیرد
فضای نمونه؛ خانه همه برآمدها
قبل از هر چیز، باید با مفهوم فضای نمونه (Sample Space) آشنا شویم. فضای نمونه مجموعه تمام نتایج ممکن یک آزمایش تصادفی است. این مجموعه را معمولاً با نماد $S$ یا $\Omega$ نشان میدهند. برای مثال، در پرتاب یک تاس سالم، فضای نمونه شامل شش وجه تاس است: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. هر یک از اعداد داخل این مجموعه، یک «برآمد» (Outcome) نامیده میشود. برآمد، نتیجه نهایی و غیرقابلتجزیه یک آزمایش است. حال اگر تاس را بیندازیم و عدد ۳ بیاید، میگوییم برآمد آزمایش، عدد ۳ است.
حالا پیشامد (Event) چیست؟ پیشامد، زیرمجموعهای از فضای نمونه است. یعنی یک پیشامد میتواند شامل یک یا چند برآمد از فضای نمونه باشد. به بیان دیگر، پیشامد یک شرط یا ویژگی است که برخی از برآمدها آن را دارند و برخی ندارند. برای مثال، در آزمایش پرتاب تاس، پیشامد «آمدن عدد فرد» شامل برآمدهای $\{1, 3, 5\}$ است. پیشامد «آمدن عدد ۶» شامل فقط برآمد $\{6\}$ است که به آن پیشامد ساده (Simple Event) میگویند. بنابراین، هر زیرمجموعهای از فضای نمونه را میتوان یک پیشامد در نظر گرفت، حتی مجموعه تهی ($\varnothing$) که آن را پیشامد غیرممکن مینامیم.
شرط وقوع یک پیشامد؛ عضویت در مجموعه
مفهوم اصلی که در این مقاله به آن میپردازیم، «رخ دادن» یک پیشامد است. یک پیشامد $A$رخ میدهد اگر و فقط اگر برآمد حاصل از آزمایش تصادفی، عضوی از مجموعه $A$ باشد. این تعریف بسیار ساده و در عین حال بنیادی است. تمام محاسبات احتمالاتی و استنباطهای آماری بر اساس همین اصل ساده بنا شدهاند.
برای درک بهتر، یک مثال ملموس میزنیم. فرض کنید در یک کیسه، سه توپ قرمز (ق$_1$, ق$_2$, ق$_3$) و دو توپ آبی (آ$_1$, آ$_2$) داریم. آزمایش این است که یک توپ را به تصادف از کیسه خارج میکنیم. فضای نمونه برابر است با: $S = \{ق_1, ق_2, ق_3, آ_1, آ_2\}$. حال چند پیشامد را تعریف میکنیم:
- پیشامد A: توپ انتخابی قرمز باشد. $A = \{ق_1, ق_2, ق_3\}$
- پیشامد B: توپ انتخابی آبی باشد. $B = \{آ_1, آ_2\}$
- پیشامد C: شماره توپ انتخابی فرد باشد (فرض کنیم توپها شمارهگذاری شدهاند). $C = \{ق_1, آ_1\}$ (چون فقط این دو توپ شماره ۱ دارند)
اگر در یک بار اجرای آزمایش، توپ $ق_2$ از کیسه خارج شود، برآمد ما $ق_2$ است. در این حالت، میگوییم:
- پیشامد A رخ داده است، زیرا $ق_2 \in A$.
- پیشامد B رخ نداده است، زیرا $ق_2 \notin B$.
- پیشامد C رخ نداده است، زیرا $ق_2 \notin C$.
همانطور که میبینید، رخ دادن یا ندادن هر پیشامد کاملاً به این بستگی دارد که برآمد نهایی ما کدام یک از اعضای فضای نمونه باشد.
انواع پیشامدها از منظر مجموعهها
پیشامدها را میتوان از جنبههای مختلفی دستهبندی کرد. درک این دستهبندی به ما کمک میکند تا روابط بین پیشامدها را بهتر بفهمیم و احتمال رخدادهای ترکیبی را محاسبه کنیم. مهمترین انواع پیشامدها عبارتند از:
| نوع پیشامد | توضیح | مثال (پرتاب تاس) |
|---|---|---|
| پیشامد ساده | دارای دقیقاً یک عضو از فضای نمونه است. | نشان دادن عدد $5$ |
| پیشامد مرکب | دارای بیش از یک عضو از فضای نمونه است. | آمدن عدد زوج $\{2,4,6\}$ |
| پیشامد حتمی | همان فضای نمونه است. همیشه رخ میدهد. | آمدن عددی بین $1$ تا $6$ ($S$) |
| پیشامد غیرممکن | مجموعه تهی است. هرگز رخ نمیدهد. | آمدن عدد $7$ |
| پیشامدهای ناسازگار | اشتراک آنها تهی است. نمیتوانند همزمان رخ دهند. | آمدن عدد فرد و آمدن عدد زوج |
کاربرد عملی: محاسبه احتمال با استفاده از تعریف پیشامد
مهمترین کاربرد مفهوم «رخ دادن پیشامد» در محاسبه احتمالات است. اگر فضای نمونه ما متناهی باشد و همه برآمدها همشانس (هماحتمال) باشند، احتمال یک پیشامد برابر است با نسبت تعداد اعضای آن پیشامد به تعداد کل اعضای فضای نمونه. این تعریف کلاسیک احتمال، دقیقاً بر مبنای همان اصل عضویت بنا شده است.
$P(A) = \frac{\text{تعداد برآمدهای مطلوب برای A}}{\text{تعداد کل برآمدهای ممکن}} = \frac{n(A)}{n(S)}$
تعداد برآمدهای مطلوب برای A، همان تعداد اعضای مجموعه A است. در واقع، ما داریم میشماریم که چه تعداد از برآمدها باعث میشوند پیشامد A رخ دهد.
مثال عینی از زندگی روزمره: فرض کنید برای خرید به فروشگاهی رفتهاید و قرار است با یک دستگاه شانس، یک کد تخفیف دریافت کنید. این دستگاه شامل ۱۰۰ توپ است که روی ۲۰ تای آنها عبارت «تخفیف ۱۰ درصد»، روی ۱۰ تای آنها «تخفیف ۲۰ درصد» و روی بقیه «متأسفانه برنده نشدید» نوشته شده است. شما یک توپ را بیرون میکشید.
- فضای نمونه $S$ مجموعه همه ۱۰۰ توپ است.
- پیشامد $D$ (برنده شدن هر نوع تخفیفی): مجموعه $۲۰ + ۱۰ = ۳۰$ توپ است.
اگر توپی که بیرون میآید، جزء آن ۳۰ توپ باشد، میگوییم پیشامد D رخ داده است. احتمال این که پیشامد D رخ دهد برابر است با $P(D) = \frac{۳۰}{۱۰۰} = ۰.۳$. همانطور که میبینید، تحلیل ما از موقعیت، با تعریف «رخ دادن پیشامد» شروع و به محاسبه یک عدد مشخص (احتمال) ختم میشود.
چالشهای مفهومی
بله، دقیقاً همین طور است. یک پیشامد برای وقوع، نیازی به شامل بودن همه اعضا ندارد. کافی است برآمد نهایی، یکی از همان اعضای محدودی باشد که در تعریف پیشامد آمده است. برای مثال، پیشامد «آب و هوا امروز بارانی باشد» شامل همه حالتهای جوی نمیشود (فقط حالت بارانی)، اما قطعاً میتواند رخ دهد. اگر پیشامدی شامل همه اعضا باشد، به آن پیشامد حتمی میگوییم که همیشه رخ میدهد.
برای این که بفهمیم دو پیشامد مانند A و B همزمان رخ دادهاند، باید بررسی کنیم که آیا برآمد نهایی، هم در مجموعه A و هم در مجموعه B وجود دارد یا خیر. به عبارت دیگر، برآمد باید عضو اشتراک دو مجموعه باشد ($A \cap B$). برای نمونه، در پرتاب تاس، پیشامد A (عدد زوج) و پیشامد B (عدد بزرگتر از ۳) را در نظر بگیرید. اگر عدد ۴ بیاید، این عدد هم زوج است و هم بزرگتر از ۳، بنابراین هر دو پیشامد A و B رخ دادهاند.
از نظر تئوری مجموعهها، یک پیشامد یک مجموعه است. بنابراین میتوان گفت یک پیشامد، مجموعهای از برآمدهاست. اما خود برآمدها پیشامد نیستند (بلکه پیشامدهای ساده هستند). به عبارت دقیقتر، یک پیشامد مرکب از اجتماع چند پیشامد ساده تشکیل شده است. مثلاً پیشامد «عدد زوج» در واقع شامل پیشامدهای ساده «آمدن عدد ۲»، «آمدن عدد ۴» و «آمدن عدد ۶» است. در این دیدگاه، پیشامد مرکب، شامل پیشامدهای ساده (زیرمجموعههای تک عضوی) میشود.
پاورقی
1 برآمد (Outcome): نتیجه قابل مشاهده یک آزمایش تصادفی که غیرقابل تجزیه به نتایج سادهتر است.
2 فضای نمونه (Sample Space): مجموعه تمام برآمدهای ممکن یک آزمایش تصادفی.
3 پیشامد (Event): هر زیرمجموعه از فضای نمونه. پیشامدها را معمولاً با حروف بزرگ لاتین نمایش میدهند.
4 احتمال کلاسیک (Classical Probability): نسبتی از تعداد اعضای یک پیشامد به تعداد اعضای فضای نمونه، در شرایطی که همه برآمدها همشانس باشند.
