ریشه مخرج: جایی که کسر جبری ناپدید میشود
۱. کسر جبری و تعریف آن
کسر جبری عبارتی است به صورت $\frac{P(x)}{Q(x)}$ که در آن $P(x)$ و $Q(x)$ دو عبارت جبری (چندجملهای یا رادیکالی) هستند. شرط اولیه برای اینکه یک کسر جبری تعریف شده باشد، این است که مخرج آن یعنی $Q(x)$، ناصفر باشد. به عبارت دیگر، مجموعهی اعداد مجاز برای $x$ (دامنهٔ تابع) شامل تمام اعداد حقیقی است به جز آنهایی که مخرج را صفر میکنند. به این مقادیر، «ریشههای مخرج» میگوییم.
برای مثال، کسر $\frac{1}{x-2}$ را در نظر بگیرید. این عبارت برای تمام $x$های حقیقی تعریف شده است، مگر $x=2$، زیرا با قرار دادن $x=2$، مخرج یعنی $(2-2)$ برابر صفر شده و کسر بیمعنی میشود. بنابراین $x=2$ ریشهٔ مخرج این کسر است.
۲. روشهای یافتن ریشههای مخرج
ریشههای مخرج با حل معادلهٔ $Q(x)=0$ به دست میآیند. روش حل این معادله به نوع عبارت $Q(x)$ بستگی دارد. در ادامه، رایجترین حالتها را بررسی میکنیم.
الف) مخرج چندجملهای درجه اول
اگر مخرج به صورت $ax+b$ باشد، ریشه آن از معادلهٔ $ax+b=0$ به دست میآید: $x=-\frac{b}{a}$.
مثال: برای کسر $\frac{2x}{3x+9}$، ریشهٔ مخرج از $3x+9=0 \Rightarrow x=-3$ به دست میآید.
ب) مخرج چندجملهای درجه دوم
اگر مخرج به صورت $ax^2+bx+c$ باشد، ریشهها با استفاده از روش دلتا1 یا اتحادها پیدا میشوند.
مثال: برای کسر $\frac{x+1}{x^2-5x+6}$، معادلهٔ $x^2-5x+6=0$ را حل میکنیم. با توجه به اتحاد جملهبندی، داریم $(x-2)(x-3)=0$. بنابراین ریشههای مخرج $x=2$ و $x=3$ هستند.
ج) مخرج شامل عبارت رادیکالی
در این حالت، علاوه بر ناصفر بودن مخرج، باید عبارت زیر رادیکال (در صورتی که فرجه زوج باشد) نامنفی نیز باشد. اما ریشههای مخرج همان مقادیری هستند که خود مخرج را صفر میکنند.
مثال: برای کسر $\frac{2}{\sqrt{x-1}}$، مخرج یعنی $\sqrt{x-1}$ وقتی صفر میشود که $x-1=0 \Rightarrow x=1$. بنابراین $x=1$ ریشهٔ مخرج است و کسر برای آن تعریفنشده است. (نکته: برای مقادیر $x \lt 1$ نیز عبارت زیر رادیکال منفی شده و کسر تعریف نمیشود، اما این مقادیر جزء ریشههای مخرج محسوب نمیشوند، بلکه جزء شرایط وجود رادیکال هستند.)
۳. کاربرد عملی: تعیین دامنه و حل نامعادلات
شناخت ریشههای مخرج در رسم نمودار توابع گویا و حل نامعادلات بسیار حیاتی است. در یک نامعادله گویا مانند $\frac{P(x)}{Q(x)} \ge 0$، ریشههای مخرج نقاط مرزی هستند که در آنها نامعادله تعریف نمیشود و علامت عبارت در سمت چپ و راست آنها تغییر میکند.
مثال کاربردی: فرض کنید میخواهیم دامنهٔ تابع $f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-4}$ را پیدا کنیم.
این تابع شامل دو بخش است:
- صورت رادیکالی $\sqrt{x+2}$ که شرط $x+2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$ را تحمیل میکند.
- مخرج $x^2-4$ که باید ناصفر باشد. ریشههای مخرج از $x^2-4=0 \Rightarrow (x-2)(x+2)=0$، یعنی $x=2$ و $x=-2$ به دست میآیند.
| نوع کسر جبری | مثال | معادلهٔ مخرج | ریشههای مخرج |
|---|---|---|---|
| خطی | $\frac{5}{2x-4}$ | $2x-4=0$ | $x=2$ |
| درجه دوم | $\frac{x}{x^2-1}$ | $x^2-1=0$ | $x=1, x=-1$ |
| با رادیکال در مخرج | $\frac{3}{\sqrt{x+3}}$ | $\sqrt{x+3}=0$ | $x=-3$ |
| گویا با چند جملهای درجه ۳ | $\frac{x+1}{x^3-4x}$ | $x(x-2)(x+2)=0$ | $x=0, x=2, x=-2$ |
۴. چالشهای مفهومی
بله، هرگاه مخرج صفر باشد، کسر تعریفنشده است، حتی اگر صورت نیز صفر باشد. به عبارت $\frac{0}{0}$ اصطلاحاً «عبارت نامعیّن» میگویند و مقدار مشخصی ندارد. برای مثال، در کسر $\frac{x-2}{x-2}$، اگر $x=2$ باشد، صورت و مخرج هر دو صفر میشوند و کسر در آن نقطه تعریف نمیشود. گرچه در سایر نقاط این کسر برابر $1$ است، اما در $x=2$ یک نقطهٔ حذفشده داریم.
خیر. علاوه بر ریشههای مخرج، عوامل دیگری مانند وجود رادیکال با فرجهٔ زوج (که عبارت درون رادیکال باید نامنفی باشد) یا وجود لگاریتم (که عبارت درون لگاریتم باید مثبت باشد) نیز میتوانند دامنهٔ عبارت را محدود کنند. اما ریشههای مخرج مستقیماً از صفر شدن مخرج ناشی میشوند.
برای چندجملهایهای درجهٔ بالاتر از ۲، از روشهای تجزیه، اتحادها، یا قضیهی ریشهٔ گویا (Rational Root Theorem) استفاده میشود. در صورتی که تجزیه به سادگی ممکن نباشد، از روشهای عددی یا نرمافزارهای محاسباتی کمک گرفته میشود. هدف نهایی یافتن مقادیری از متغیر است که چندجملهای مخرج را صفر کند.
پاورقی
1 دلتا: در معادلهٔ درجه دوم $ax^2+bx+c=0$، مقدار $\Delta=b^2-4ac$ را دلتا مینامند. ریشهها از فرمول $x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ به دست میآیند.
