برهان خلف: روش اثباتی که با فرض نادرستیِ حکم و رسیدن به تناقض، درستیِ حکم را نتیجه می‌گیرد.

شرح برهان:

• فرض خلاف: فرض می‌کنیم که تعداد اعداد اول متناهی است. یعنی می‌توانیم همه‌ی آنها را در یک لیست بنویسیم. فرض کنید این لیست به این صورت است: \( p_1, p_2, p_3, ... , p_n \).
• ساخت عدد جدید: حالا عدد جدیدی به نام \( Q \) می‌سازیم به این صورت: \( Q = (p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n) + 1 \).
• تحلیل عدد Q: این عدد \( Q \) از یک ویژگی مهم برخوردار است: بر هیچ‌یک از اعداد اول لیست ما بخش‌پذیر نیست. چون اگر آن را بر هر کدام از این اعداد اول (مثلاً \( p_1 \)) تقسیم کنیم، باقیمانده‌اش \( ۱ \) خواهد بود.
• رسیدن به تناقض: حالا دو حالت برای \( Q \) وجود دارد:
  • اگر \( Q \) خودش یک عدد اول باشد، پس ما یک عدد اول جدید داریم که در لیست ما نبوده است.
  • اگر \( Q \) اول نباشد، باید حتماً یک مقسوم‌علیه اول داشته باشد. اما این مقسوم‌علیه اول نمی‌تواند هیچ‌کدام از اعداد اول لیست ما باشد (چون به آنها بخش‌پذیر نیست). پس این مقسوم‌علیه اول، یک عدد اول جدید است که در لیست ما نبوده است.
  در هر دو حالت، ما به یک عدد اول جدید رسیده‌ایم که در لیست متناهی فرضی ما وجود نداشته است. این یعنی لیست ما کامل نبوده و فرض متناهی بودن اعداد اول، اشتباه است.
• نتیجه: بنابراین، تعداد اعداد اول نمی‌تواند متناهی باشد و بی‌نهایت است.

شرح برهان:

• فرض خلاف: فرض می‌کنیم \( \sqrt{2} \) یک عدد گویا (کسر) است. یعنی می‌توان آن را به صورت \( \frac{a}{b} \) نوشت، که در آن \( a \) و \( b \) اعداد صحیح و کسر متعارفی هستند (یعنی غیر از \( ۱ \) مقسوم‌علیه مشترک دیگری ندارند).
• استنتاج: از این فرض داریم: \( \sqrt{2} = \frac{a}{b} \). با دو طرف تساوی به توان \( ۲ \) می‌رسیم به \( ۲ = \frac{a^2}{b^2} \) و سپس \( a^2 = ۲b^2 \).
• نتیجه‌گیری اول: این تساوی به ما می‌گوید که \( a^2 \) یک عدد زوج است. اگر مربع یک عدد زوج باشد، خود آن عدد نیز زوج است. پس \( a \) زوج است. می‌توانیم بنویسیم \( a = ۲k \) (که \( k \) یک عدد صحیح است).
• جانشینی: حالا \( a = ۲k \) را در معادله \( a^2 = ۲b^2 \) قرار می‌دهیم: \( (۲k)^2 = ۲b^2 \) => \( ۴k^2 = ۲b^2 \) => \( ۲k^2 = b^2 \).
• نتیجه‌گیری دوم: این تساوی نشان می‌دهد که \( b^2 \) زوج است، و در نتیجه \( b \) نیز زوج است.
• تناقض: ما نتیجه گرفتیم که هم \( a \) زوج است و هم \( b \). این یعنی کسر \( \frac{a}{b} \) می‌تواند با \( ۲ \) ساده شود و بنابراین کسر متعارفی نیست. این با فرض اولیه‌ی ما که کسر متعارفی است، در تضاد کامل قرار دارد.
• نتیجه نهایی: از آنجا که فرض ما به تناقض انجامید، نتیجه می‌گیریم که فرض گویا بودن \( \sqrt{2} \) اشتباه است. پس \( \sqrt{2} \) یک عدد گنگ است.

❓ چرا فرض کردن خلاف یک حکم، مجاز است؟ آیا این کار ذهن را منحرف نمی‌کند؟

در منطق، «فرض کردن» به معنای پذیرش آن به عنوان واقعیت نیست. فرض کردن یک ابزار ذهنی است. ما مانند این است که بگوییم: «بیا برای یک لحظه تصور کنیم که این ادعا اشتباه است، ببینیم چه پیش می‌آید.» اگر به تناقض برسیم، می‌فهمیم که این تصور غیرممکن است. این یک انحراف نیست، بلکه یک کاوش هوشمندانه برای یافتن حقیقت است.

❓ آیا برهان خلف همیشه بهترین روش اثبات است؟ چه زمانی نباید از آن استفاده کرد؟

خیر. گاهی اوقات برهان مستقیم بسیار ساده‌تر و گویاتر است. برای مثال، اثبات «مجموع دو عدد زوج، زوج است» با برهان مستقیم بسیار آسان‌تر است. برهان خلف زمانی ارزشمند است که بخواهیم عدم امکان چیزی را نشان دهیم (مثل نامتناهی بودن)، یا وقتی که فرض خلاف نتایج مشخص و ساده‌ای دارد. استفاده از آن در جایی که اثبات مستقیم ساده است، مثل این می‌ماند که برای آب خوردن از شیر آب، یک چاه عمیق حفر کنیم.

❓ اگر در حین برهان خلف به چند تناقض برسیم، آیا حکم محکم‌تر اثبات می‌شود؟

در منطق، رسیدن به یک تناقض (حتی یک مورد کوچک) برای اثبات نادرستی فرض کافی است. رسیدن به چند تناقض، قدرت استدلال را بیشتر نمی‌کند، زیرا همان یک تناقض نشان می‌دهد که فرض ما با اصول اولیه منطق در تضاد است و باید آن را کنار بگذاریم. زیبایی برهان خلف در همین «همه یا هیچ» بودن آن است.