نقطه‌های هم‌عرض روی سهمی: دو نقطه از سهمی که مقدار x یکسان دارند و نسبت به محور تقارن قرینه‌اند

هر سهمی که با یک تابع درجه دوم به فرم کلی $ y = ax^{2} + bx + c $ تعریف شود، دارای یک محور تقارن عمودی به معادله $ x = h $ است که $ h = -\frac{b}{2a} $ مختص x رأس سهمی است. نقطه‌های هم‌عرض، دو نقطه روی منحنی هستند که فاصله افقی یکسانی از این محور تقارن دارند. اگر فاصله یک نقطه از محور تقارن برابر با $ d $ واحد باشد، نقطه مقابل آن با فاصله $ d $ واحد در سمت دیگر محور قرار دارد. هر دو نقطه دارای یک عرض (y) یکسان هستند. به عبارت دیگر، اگر نقطه $ A = (h + d , y) $ روی سهمی باشد، آن‌گاه نقطه $ B = (h - d , y) $ نیز حتماً روی سهمی خواهد بود. به این دو نقطه، نقاط هم‌عرض می‌گوییم.

برای روشن شدن موضوع، سهمی ساده $ y = x^{2} - 4x + 3 $ را در نظر بگیرید. محور تقارن آن $ x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2 $ است. رأس سهمی در نقطه $ (2, -1) $ قرار دارد. اگر $ x = 5 $ را در تابع قرار دهیم، $ y = 25 - 20 + 3 = 8 $ به دست می‌آید. نقطه $ (5, 8) $ به فاصله $ 3 $ واحد از محور تقارن قرار دارد. در نتیجه، نقطه هم‌عرض آن باید در $ x = 2 - 3 = -1 $ باشد. با جایگذاری $ x = -1 $ داریم: $ y = 1 + 4 + 3 = 8 $. همانطور که مشاهده می‌شود، نقاط $ (5, 8) $ و $ (-1, 8) $ یک زوج نقطه هم‌عرض هستند.

برای یافتن نقاط هم‌عرض یک سهمی به ازای یک عرض مشخص $ y_0 $، باید معادله $ ax^{2} + bx + c = y_0 $ را حل کنیم. این معادله یک معادله درجه دوم بر حسب x است: $ ax^{2} + bx + (c - y_0) = 0 $. با توجه به مقدار دلتا$ (\Delta) $ سه حالت رخ می‌دهد که در جدول زیر خلاصه شده است.

یکی از جذاب‌ترین کاربردهای نقطه‌های هم‌عرض در معماری و مهندسی سازه، به‌ویژه در طراحی پل‌های معلق است. کابل‌های اصلی یک پل معلق اغلب به شکل یک سهمی آویزان می‌شوند. پایه‌های عمودی (رایزرها) که کابل اصلی را به عرشه پل متصل می‌کنند، در فواصل مساوی از مرکز پل (محور تقارن) نصب می‌شوند. این نقاط اتصال، دقیقاً نقاط هم‌عرض روی سهمی هستند.

فرض کنید مهندسان می‌خواهند یک پل طراحی کنند که کابل اصلی آن از معادله $ y = 0.01x^{2} $ پیروی کند، و عرشه پل در ارتفاع $ y = 0 $ قرار دارد. اگر بخواهند دو پایه یکسان در دو طرف پل، در فاصله افقی $ 40 $ متری از مرکز پل نصب کنند، ارتفاع این پایه‌ها چقدر خواهد بود؟ در اینجا محور تقارن سهمی محور $ y $ها (x=0) است. نقاط هم‌عرض مورد نظر $ x = -40 $ و $ x = +40 $ هستند. با جایگذاری در معادله:

$ y = 0.01 \times (40)^{2} = 0.01 \times 1600 = 16 $ متر

بنابراین ارتفاع هر دو پایه 16 متر خواهد بود و این دو نقطه، $ (-40, 16) $ و $ (40, 16) $، یک زوج نقطه هم‌عرض هستند. این ویژگی به مهندسان اطمینان می‌دهد که پایه‌ها هم‌تراز بوده و بار به طور متقارن توزیع می‌شود.

۱. آیا دو نقطه با عرض یکسان اما طول‌های متفاوت، همیشه هم‌عرض هستند؟

پاسخ: خیر. شرط لازم برای هم‌عرض بودن دو نقطه، علاوه بر داشتن عرض (y) یکسان، این است که طول (x) آن‌ها نسبت به محور تقارن سهمی قرینه باشند. برای مثال، در سهمی $ y = x^{2} $، نقاط $ (1, 1) $ و $ (2, 4) $ عرض‌های متفاوتی دارند. اما نقاط $ (2, 4) $ و $ (-2, 4) $ هم عرض هستند زیرا هر دو عرض $4$ داشته و طول‌های قرینه دارند.

۲. اگر سهمی به جای محور تقارن عمودی، محور تقارن افقی داشته باشد (مثل $ x = y^{2} $)، آیا باز هم مفهوم نقطه‌های هم‌عرض معنا دارد؟

پاسخ: بله، اما با جابجایی نقش‌ها. در آن صورت، صحبت از نقطه‌های هم‌طول خواهد بود. یعنی نقاطی با y یکسان که نسبت به محور تقارن افقی قرینه‌اند. با این حال، در کتاب‌های درسی دبیرستان، تمرکز اصلی روی توابع (که به ازای هر x تنها یک y دارند) و سهمی‌های عمودی است، بنابراین اصطلاح "نقاط هم‌عرض" رایج‌تر است.

۳. چگونه می‌توان از نقطه‌های هم‌عرض برای تعیین معادله یک سهمی استفاده کرد؟

پاسخ: اگر دو نقطه هم‌عرض یک سهمی و مختصات رأس آن را داشته باشیم، می‌توانیم معادله را بنویسیم. فرض کنید رأس در $ (h, k) $ و یک نقطه هم‌عرض مانند $ (x_1, y_1) $ را داریم. نقطه مقابل آن $ (2h - x_1, y_1) $ خواهد بود. با دانستن این سه نقطه (که یکی از آن‌ها رأس است) می‌توانیم معادله را به فرم $ y = a(x - h)^{2} + k $ بنویسیم و با جایگذاری یکی از نقاط هم‌عرض، ضریب $ a $ را پیدا کنیم.

¹عرض از مبدأ (y-intercept): نقطه‌ای که نمودار تابع، محور yها را قطع می‌کند. در معادله $ y = ax^{2} + bx + c $، عرض از مبدأ برابر با $ c $ است.

²رأس سهمی (Vertex): نقطه ماکسیمم یا مینیمم یک سهمی. رأس، مرکز تقارن سهمی بوده و محور تقارن از آن می‌گذرد.