زوج مرتب: جفتِ ((x,y)) که ترتیبِ اعضا در آن مهم است.

زوج مرتب: مفهوم ترتیب در ریاضیات و زندگی روزمره

تعریف زوج مرتب و تفاوت آن با جفت معمولی

در ریاضیات، یک زوج مرتب که با نماد $(a,b)$ نمایش داده می‌شود، مجموعه‌ای از دو عنصر $a$ و $b$ است که در آن ترتیب قرار گرفتن عنصر اول (مختص x) و عنصر دوم (مختص y) اهمیت دارد. برخلاف یک مجموعهٔ دو عضوی مانند $\{a,b\}$ که در آن $\{a,b\} = \{b,a\}$، در زوج مرتب داریم: $(a,b) \neq (b,a)$ مگر اینکه $a=b$. این ویژگی اصلی‌ترین خصوصیتی است که زوج مرتب را از یک جفت ساده متمایز می‌کند.

نمایش هندسی: دستگاه مختصات قائم

مهمترین کاربرد زوج مرتب در دبیرستان، تعیین مکان یک نقطه در صفحهٔ مختصات است. صفحهٔ مختصات قائم (کارتزین¹) از دو محور عمود بر هم به نام‌های محور x (افقی) و محور y (عمودی) تشکیل شده است. هر نقطه در این صفحه با یک زوج مرتب مانند $(x,y)$ مشخص می‌شود. عدد اول (طول²) نشان‌دهندهٔ فاصلهٔ افقی از مبدأ و عدد دوم (عرض³) نشان‌دهندهٔ فاصلهٔ عمودی از مبدأ است. برای مثال، نقطهٔ $A=(3,2)$ به این معناست که از مبدأ مختصات، 3 واحد به سمت راست و 2 واحد به سمت بالا حرکت کرده‌ایم. نقطهٔ $B=(2,3)$ موقعیت کاملاً متفاوتی دارد. این تفاوت مکان دقیقاً به خاطر اهمیت ترتیب در زوج مرتب است.

کاربرد عملی: روابط و توابع

زوج مرتب قلب تپندهٔ مفهوم تابع در ریاضیات است. یک رابطه، مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب است. برای مثال، رابطهٔ "بزرگتر از" بین اعداد $\{1,2,3\}$ را می‌توان به صورت مجموعهٔ زوج‌های مرتب $\{(2,1), (3,1), (3,2)\}$ نمایش داد. در اینجا هر زوج $(a,b)$ یعنی $a \gt b$. تابع حالت خاصی از رابطه است که در آن هیچ دو زوج مرتبی اولین مؤلفهٔ یکسان ندارند. یعنی هر ورودی (x) فقط به یک خروجی (y) متصل است. برای نمونه، تابع $f(x)=x+1$ را می‌توان با مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب مانند $\{(0,1), (1,2), (2,3), ...\}$ نشان داد. در اینجا هیچ دو زوجی وجود ندارد که اولین عضو آن‌ها یکسان باشد (مثلاً 0 فقط به 1 وصل شده است).

مقایسه زوج مرتب و مجموعه

برای درک بهتر اهمیت ترتیب، تفاوت‌های زوج مرتب و یک مجموعهٔ دو عضوی را در جدول زیر مرور می‌کنیم.

چالش‌های مفهومی دربارهٔ زوج مرتب

پاورقی