دامنه تابع: مجموعه مؤلفههای اول و شرط یکتایی
۱. تعریف دامنه و قانون طلایی توابع
در ریاضیات، یک تابع (Function) را میتوان بهعنوان مجموعهای از زوجمرتبها در نظر گرفت. هر زوجمرتب مانند $(x , y)$ از دو بخش تشکیل شده است: مؤلفه اول که همان ورودی یا $x$ است و مؤلفه دوم که خروجی یا $y$ نام دارد .
حال دامنه (Domain) یک تابع که آن را با نماد $D_f$ نشان میدهیم، عبارت است از مجموعه تمام مؤلفههای اول زوجمرتبهای آن تابع . به عبارت سادهتر، دامنه مجموعه مقادیری است که میتوانند به عنوان ورودی به تابع داده شوند .
مجموعهای از زوجمرتبها یک تابع است اگر و تنها اگر هیچ دو زوجمرتبی با مؤلفههای اول یکسان و مؤلفههای دوم متفاوت وجود نداشته باشد . یعنی هر $x$ باید به یک و فقط یک $y$ وصل شود.
مثال روزمره: فرض کنید دستگاه فروش خودکاری داریم که با فشردن دکمه ۱ (مؤلفه اول) فقط یک نوع خودکار (مؤلفه دوم) به ما میدهد. اگر گاهی با فشردن دکمه ۱، خودکار آبی و گاهی خودکار قرمز بیرون بدهد، این دستگاه یک تابع نیست! زیرا یک ورودی به دو خروجی متفاوت منجر شده است .
۲. تشخیص دامنه و تابع بودن از روی زوجمرتبها
برای تشخیص اینکه یک مجموعه زوجمرتب، تابع است یا خیر و یافتن دامنه آن، کافیست مراحل زیر را گامبهگام انجام دهیم:
- استخراج مؤلفههای اول: تمام اعداد $x$ را یادداشت میکنیم. این مجموعه، همان دامنه است .
- بررسی شرط یکتایی: چک میکنیم که آیا مؤلفه اول تکراری با مؤلفه دوم متفاوت وجود دارد یا خیر.
| مجموعه زوجمرتبها | دامنه ($D_f$) | تابع؟ | توضیح |
|---|---|---|---|
| $\{(1,2),(3,5),(4,2)\}$ | $\{1,3,4\}$ | بله | همه مؤلفههای اول یکتا هستند. |
| $\{(1,2),(1,5),(3,4)\}$ | $\{1,3\}$ | خیر | مؤلفه اول $1$ به دو خروجی $2$ و $5$ رفته است. |
| $\{(2,3),(2,3),(4,7)\}$ | $\{2,4\}$ | بله | زوجمرتب تکراری $(2,3)$ دو بار تکرار شده، اما مؤلفه دوم آنها برابر است . |
| $\{(-1,0),(0,2),(1,-3)\}$ | $\{-1,0,1\}$ | بله | همه مؤلفههای اول یکتا هستند . |
نکته جالب اینکه مجموعه تهی (مجموعهای بدون هیچ زوجمرتبی) نیز طبق منطق ریاضی، یک تابع محسوب میشود؛ زیرا در آن هیچ دو زوجمرتبی با مؤلفه اول یکسان و مؤلفه دوم متفاوت یافت نمیشود .
۳. مثال علمی: کاربرد در فیزیک و اقتصاد
فرض کنید در حال مطالعه حرکت یک ماشین هستیم. مکان ماشین در هر لحظه از زمان یک تابع است. اگر زمان را به عنوان مؤلفه اول و مکان را به عنوان مؤلفه دوم در نظر بگیریم:
- وضعیت تابع: در یک لحظه خاص از زمان (مثلاً $t=3$ ثانیه)، ماشین نمیتواند هم در کیلومتر $10$ و هم در کیلومتر $20$ باشد. پس زوجمرتبهای $(3,10)$ و $(3,20)$ نمیتوانند همزمان در مجموعه دادهها باشند. این همان شرط تابع بودن است .
- دامنه: دامنه این تابع، مجموعه لحظات زمانی است که حرکت در آنها تعریف شده است (مثلاً از $t=0$ تا $t=10$ ثانیه).
در اقتصاد، رابطه بین قیمت یک کالا و مقدار تقاضا برای آن معمولاً یک تابع است. به ازای هر قیمت (مؤلفه اول)، یک مقدار مشخص تقاضا (مؤلفه دوم) وجود دارد . اگر یک قیمت به دو مقدار تقاضا منجر شود، مدل اقتصادی ما دچار مشکل خواهد بود.
۴. از زوجمرتب تا ضابطه و نمودار
مفهوم دامنه و شرط یکتایی تنها به زوجمرتبها محدود نمیشود. در سایر روشهای نمایش تابع نیز همین قوانین برقرار است:
- جدول مقادیر: در یک جدول، اگر یک مقدار $x$ تکرار شده باشد، باید مقادیر $y$ مربوط به آن برابر باشند. در غیر این صورت، جدول یک تابع را نمایش نمیدهد .
- نمودار پیکانی (Venn Diagram): در این نمودار، اگر از یک عضو مجموعه اول (دامنه) بیش از یک پیکان به مجموعه دوم خارج شود، رابطه یک تابع نیست .
- نمودار مختصاتی: معروفترین آزمون برای توابع، آزمون خط عمودی است. اگر بتوان خطی عمودی رسم کرد که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، آن نمودار یک تابع نیست. زیرا آن خط، یک $x$ خاص را نشان میدهد که به بیش از یک $y$ وصل شده است.
چالشهای مفهومی
✅ پاسخ: بله، کاملاً مجاز است. شرط تابع بودن به مؤلفههای اول مربوط است، نه دوم. برای مثال در تابع $f=\{(1,5),(2,5),(3,5)\}$، مؤلفه دوم همه جا $5$ است، اما چون مؤلفههای اول ($1,2,3$) یکتا هستند، این مجموعه یک تابع است .
✅ پاسخ: در تعریف کلاسیک تابع از مجموعه $A$ به $B$، هر عضو $A$ باید به یک عضو $B$ متصل شود. اما اگر رابطه را مستقل از مجموعههای از پیش تعریفشده در نظر بگیریم، مجموعه زوجمرتبها خودش دامنهاش را مشخص میکند. به عبارت دیگر، دامنه صرفاً مجموعه مؤلفههای اول موجود است .
✅ پاسخ: در یک تابع معمولی، شرط یکتایی برای مؤلفههای اول الزامی است. اما در تابع یکبهیک (Injective Function)، یک شرط اضافهتر داریم: مؤلفههای دوم نیز باید یکتا باشند (یعنی هیچ دو زوجمرتبی مؤلفه دوم یکسان نداشته باشند) . بنابراین هر تابع یکبهیک، حتماً تابع است، اما ممکن است تابعی یکبهیک نباشد (مثل مثال چالش $1$).
پاورقیها
۲. دامنه (Domain): مجموعه تمام ورودیهای مجاز برای یک تابع .
۳. برد (Range): مجموعه تمام خروجیهای یک تابع .
۴. زوجمرتب (Ordered Pair): نمایش دو عنصر به صورت $(a,b)$ که در آن ترتیب قرارگیری اهمیت دارد .
۵. تابع یکبهیک (Injective Function): تابعی که در آن عناصر مختلف دامنه، به عناصر مختلف برد نگاشته میشوند .
