مولفه دوم در زوج مرتب: از نگاشت تا تابع
۱. زوج مرتب و اعضای آن
در ریاضیات، یک زوج مرتب[۱] به صورت $(x, y)$ نوشته میشود. در این نماد، $x$ را مؤلفه اول (ورودی) و $y$ را مؤلفه دوم (خروجی) مینامیم. مهمترین ویژگی یک زوج مرتب این است که ترتیب قرار گرفتن اعداد اهمیت دارد؛ یعنی $(a, b)$ با $(b, a)$ برابر نیست مگر اینکه $a = b$ باشد.
به عنوان مثال، فرض کنید $A = \{1, 2, 3\}$ و $B = \{a, b, c\}$ دو مجموعه باشند. زوج مرتب $(2, b)$ یعنی عضوی از مجموعه $A$ (یعنی $2$) را به عضوی از مجموعه $B$ (یعنی $b$) نسبت دادهایم. در اینجا، مؤلفه دوم یا خروجی، دقیقاً یک عضو از مجموعه $B$ است.
۲. رابطه و تفاوت آن با تابع
به هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی[۲] دو مجموعه $A \times B$، یک رابطه[۳] از $A$ به $B$ گفته میشود. در یک رابطه، یک عضو از مجموعه $A$ میتواند به چند عضو مختلف از مجموعه $B$ نسبت داده شود. اما در تابع[۴]، این شرط به صورت دقیقتری مطرح میشود.
تابع رابطهای است که در آن هر عنصر از مجموعه $A$ (ورودی) به دقیقاً یک عنصر از مجموعه $B$ (خروجی) نسبت داده میشود. این شرط، که به تعریف پذیری یکتا معروف است، دقیقاً به معنای همان چیزی است که در موضوع مقاله به آن اشاره شد: «عضو دوم در یک زوجمرتب $(x,y)$ که خروجی یا $y$ است، دقیقاً یک عضو از $B$ نسبت میدهد.»
برای اینکه یک رابطه $R$ از $A$ به $B$ یک تابع باشد، باید دو شرط زیر برقرار باشد:
- ۱. پوشایی (وجود): دامنهی تابع برابر $A$ باشد. بهبیان دیگر، به ازای هر $x \in A$، زوجمرتبی به صورت $(x, y)$ در رابطه $R$ وجود داشته باشد.
- ۲. یکتایی: اگر $(x, y_1) \in R$ و $(x, y_2) \in R$ آنگاه باید $y_1 = y_2$ باشد. یعنی هیچ ورودی به دو خروجی مجزا نسبت داده نشود.
۳. جدول مقایسه: رابطه در مقابل تابع
| ویژگی | رابطه | تابع |
|---|---|---|
| تعداد خروجی برای هر ورودی | صفر، یک یا چند | دقیقاً یک |
| مثال نقض با $A=\{1,2\}$ و $B=\{3,4\}$ | $R=\{(1,3),(1,4)\}$ | $f=\{(1,3),(2,4)\}$ |
| توصیف مؤلفه دوم | میتواند مقادیر مختلف برای یک مؤلفه اول داشته باشد. | برای هر مؤلفه اول، مؤلفه دوم یکتاست. |
۴. مثال عملی: تابع ماشینهای فروش خودکار
فرض کنید یک ماشین فروش خودکار داریم. مجموعه $A$ (ورودی) شامل دکمههایی است که میتوانید فشار دهید (مثلاً $A = \{1, 2, 3\}$) و مجموعه $B$ (خروجی) شامل نوشیدنیهایی است که دستگاه میدهد (مثلاً $B = \{ \text{چای}, \text{قهوه}, \text{آب معدنی} \}$).
اگر این ماشین یک تابع باشد، با فشردن هر دکمه، دقیقاً یک نوع نوشیدنی دریافت خواهید کرد. برای مثال:
$f(1) = \text{چای}$ ← زوج مرتب $(1, \text{چای})$
$f(2) = \text{قهوه}$ ← زوج مرتب $(2, \text{قهوه})$
$f(3) = \text{آب معدنی}$ ← زوج مرتب $(3, \text{آب معدنی})$
در اینجا، مؤلفه دوم (نوع نوشیدنی) برای هر دکمه (مؤلفه اول) بهطور یکتا مشخص شده است. اگر دستگاهی داشتیم که با فشردن دکمه $1$ گاهی چای و گاهی قهوه میداد، این دستگاه یک تابع نبود، بلکه یک رابطه بود (و دستگاه معیوبی بود!).
۵. کاربرد در زندگی روزمره و علوم دیگر
مفهوم تابع و نسبتدهی یکتای خروجی به ورودی، تنها محدود به ریاضیات نیست. در علوم کامپیوتر، هر برنامه را میتوان به عنوان تابعی در نظر گرفت که ورودی میگیرد و خروجی یکتا تولید میکند (با فرض قطعی بودن الگوریتم). در اقتصاد، تابع تقاضا قیمت یک کالا را به مقدار تقاضا شده مرتبط میکند: به ازای هر قیمت، یک مقدار مشخص تقاضا وجود دارد. در فیزیک، قوانین حرکت نیوتن مکان یک جسم را به صورت تابعی از زمان توصیف میکنند: در هر لحظه از زمان، جسم دقیقاً در یک مکان قرار دارد.
۶. چالشهای مفهومی
❓ آیا میتوان تابعی داشت که در آن دو عضو مختلف از مجموعه $A$ (ورودی) به یک عضو از مجموعه $B$ (خروجی) نسبت داده شوند؟
✅ بله، این اتفاق مجاز است و به چنین تابعی، تابع غیر یکبهیک میگویند. شرط تابع بودن، یکتایی خروجی برای هر ورودی است، نه یکتایی ورودی برای هر خروجی. برای مثال، تابع $f(x)=x^2$ روی اعداد حقیقی، دو ورودی مختلف $2$ و $-2$ را به یک خروجی ($4$) نسبت میدهد.
❓ اگر در یک رابطه، یک عضو از $A$ اصلاً به عضوی از $B$ نسبت داده نشود، آیا آن رابطه میتواند تابع باشد؟
✅ خیر. طبق تعریف، برای تابع بودن از مجموعه $A$ به $B$، هر عضو $A$ باید به یک عضو $B$ نسبت داده شود. در غیر این صورت، آن رابطه یک تابع نیست، بلکه یک تابع جزئی[۵] است.
❓ مجموعهای از زوجمرتبها مانند $R = \{(1, a), (2, b), (2, c)\}$ را در نظر بگیرید. چرا این مجموعه یک تابع نیست؟
✅ چون عضو $2$ از مجموعه ورودی، به دو خروجی متفاوت $b$ و $c$ نسبت داده شده است. شرط یکتایی خروجی برای هر ورودی نقض شده است. پس این رابطه یک تابع نیست.
✓ مؤلفه دوم در یک زوج مرتب، نقش خروجی را دارد.
✓ در یک تابع، این خروجی برای هر ورودی (مؤلفه اول) باید یکتا و متعلق به مجموعه $B$ باشد.
✓ توابع زیرمجموعهای از روابط هستند با این شرط اضافه که هر عنصر دامنه به یک عنصر در برد نسبت داده شود.
✓ درک این مفهوم ساده، پایهای برای درک مبانی جبر، حسابان و بسیاری از شاخههای علمی دیگر است.
پاورقیها
۱ Ordered Pair: نمایشی از دو شیء به صورت $(a, b)$ که در آن ترتیب قرار گرفتن عناصر مهم است.
۲ Cartesian Product: حاصلضرب دو مجموعه $A$ و $B$ که مجموعه تمام زوجمرتبهای $(a, b)$ به طوری که $a \in A$ و $b \in B$ است.
۳ Relation: هر زیرمجموعه از حاصلضرب دکارتی دو مجموعه.
۴ Function: رابطهای که در آن هر عنصر از مجموعه اول (دامنه) به یک و تنها یک عنصر از مجموعه دوم (برد) مربوط میشود.
۵ Partial Function: رابطهای که در آن هر عنصر از دامنه به حداکثر یک عنصر از برد نسبت داده میشود (ولی ممکن است به برخی از عناصر دامنه، مقداری نسبت داده نشود).
