تابع و زوج مرتب: مفهوم عضویت و تناظر
۱. زوج مرتب و مؤلفههای آن
در ریاضیات، یک زوج مرتبمؤلفه اول از دو شیء تشکیل شده است که ترتیب قرار گرفتن آنها اهمیت دارد. اگر زوج مرتب را به صورت $(x , y)$ نمایش دهیم، به $x$ مؤلفهٔ اول (ورودی) و به $y$ مؤلفهٔ دوم (خروجی) میگوییم. برای مثال، در زوج مرتب $(5 , 3)$، عدد ۵ مؤلفهٔ اول و عدد ۳ مؤلفهٔ دوم است. نکتهٔ کلیدی این است که $(5 , 3)$ با $(3 , 5)$ متفاوت است، زیرا ترتیب مؤلفهها عوض شده است.
در زندگی روزمره نیز نمونههای زیادی از زوجهای مرتب داریم. مثلاً (نام دانشآموز، نمرهٔ ریاضی) یک زوج مرتب است که مؤلفهٔ اول نام دانشآموز و مؤلفهٔ دوم نمرهٔ اوست. اگر این زوج را جابهجا کنیم، معنی آن کاملاً عوض میشود.
۲. تناظر و رابطه
به مجموعهای از زوجهای مرتب، یک رابطه2 میگویند. رابطه میتواند اعضای یک مجموعه (مجموعهٔ اول) را به اعضای مجموعهٔ دیگر (مجموعهٔ دوم) مرتبط کند. اگر مجموعۀ اول را $A$ و مجموعۀ دوم را $B$ بنامیم، یک رابطه مانند $R$ از $A$ به $B$ زیرمجموعهای از حاصلضرب $A \times B$ است. حاصلضرب دو مجموعه یعنی مجموعهٔ تمام زوجهای مرتبی که مؤلفهٔ اول آن از $A$ و مؤلفهٔ دوم آن از $B$ انتخاب شده است.
برای مثال، فرض کنید $A = \{\text{علی}, \text{رضا}\}$ و $B = \{\text{ریاضی}, \text{شیمی}\}$. حاصلضرب $A \times B$ شامل چهار زوج مرتب است: $(\text{علی}, \text{ریاضی})$، $(\text{علی}, \text{شیمی})$، $(\text{رضا}, \text{ریاضی})$، $(\text{رضا}, \text{شیمی})$. رابطهٔ "درس مورد علاقه" میتواند زیرمجموعهای از این زوجها باشد، مثلاً $\{(\text{علی}, \text{ریاضی}), (\text{رضا}, \text{شیمی})\}$.
۳. تعریف تابع: نسبت دادن دقیقاً یک خروجی به هر ورودی
تابع3 نوع خاصی از رابطه است که شرط بسیار مهمی دارد: به هر عضو از مجموعهٔ اول (دامنه)، دقیقاً یک عضو از مجموعهٔ دوم (برد) نسبت داده شود. به زبان سادهتر، در یک تابع، هیچ عضوی از مجموعهٔ اول نمیتواند دو تصویر متفاوت داشته باشد. یعنی اگر $(a , b)$ و $(a , c)$ هر دو در تابع وجود داشته باشند، آنگاه حتماً $b = c$ است.
اما رابطهٔ $\{(1 , 2), (3 , 4), (5 , 6)\}$ یک تابع است، زیرا هیچ مؤلفهٔ اول تکراری با مقادیر متفاوت ندارد.
| ویژگی | رابطه | تابع |
|---|---|---|
| تعداد زوجها برای یک عضو از مجموعهٔ اول | میتواند صفر، یک یا چند باشد | دقیقاً یک |
| شرط یکتایی خروجی | نیازی ندارد | الزامی است |
| نمونه | {(1,2), (1,3)} | {(1,2), (3,4)} |
۴. انواع توابع: یکبهیک، پوشا و ...
توابع را بر اساس رفتارشان در نسبتدهی اعضا دستهبندی میکنیم. مهمترین آنها عبارتند از:
- تابع یکبهیک (اینژه)4: در این نوع تابع، اعضای مختلف مجموعهٔ اول به اعضای مختلف مجموعهٔ دوم نسبت داده میشوند. یعنی اگر $x_1 \neq x_2$، آنگاه $f(x_1) \neq f(x_2)$. به عبارت دیگر، هیچ دو ورودی متفاوتی خروجی یکسان ندارند.
- تابع پوشا (سورژهکتیو)5: در این نوع تابع، تمام اعضای مجموعهٔ دوم (برد) حداقل توسط یک عضو از مجموعهٔ اول تصویر میشوند. یعنی برای هر $y \in B$، حداقل یک $x \in A$ وجود دارد که $f(x)=y$.
- تابع دوسویه (بیژهکتیو)6: تابعی که هم یکبهیک باشد و هم پوشا. در این حالت، بین اعضای دو مجموعه یک تناظر یکبهیک دقیق برقرار است.
| نوع تابع | شرط | مثال |
|---|---|---|
| یکبهیک (اینژه) | هر خروجی حداکثر یک ورودی دارد. | {(1,2), (3,4), (5,6)} |
| پوشا (سورژهکتیو) | هر عضو مجموعهٔ دوم حداقل یک بار استفاده شده است. | {(1,2), (2,2), (3,3)} با برد {2,3} |
| دوسویه (بیژهکتیو) | هم یکبهیک و هم پوشا است. | {(1,2), (2,3), (3,4)} با برد {2,3,4} |
۵. کاربرد عملی: ماشین تابع در زندگی روزمره
تصور کنید یک دستگاه خودپرداز داریم. این دستگاه یک تابع است. ورودی (مؤلفهٔ اول) کارت بانکی و رمز عبور شماست. خروجی (مؤلفهٔ دوم) مبلغی است که دریافت میکنید. برای یک کارت و رمز مشخص (یک ورودی)، دستگاه دقیقاً یک خروجی (مثلاً اسکناسهای خروجی) به شما میدهد. نمیتواند برای یک رمز، دو بار مبلغ متفاوت خارج کند (این خاصیت تابع بودن است). حالا اگر بخواهیم این تابع یکبهیک باشد، یعنی هر کارت بانکی، یک خروجی منحصربهفرد داشته باشد و دو کارت مختلف به یک میزان پول یکسان منجر نشوند (که در عمل الزاماً اینطور نیست).
مثال دیگر، دستگاه فروش خودکار نوشابه است. شما یک کد (مثلاً A1) را وارد میکنید (ورودی) و دستگاه یک قوطی نوشابه خاص (خروجی) به شما میدهد. هیچگاه یک کد به دو نوع نوشابه متفاوت منجر نمیشود. این یک تابع است. اگر دستگاه به گونهای باشد که هر نوع نوشابه (خروجی) فقط با یک کد خاص (ورودی) قابل دریافت باشد، آنگاه این تابع یکبهیک است.
۶. چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. همین شرط (نسبتدادن دقیقاً یک خروجی به هر ورودی) دقیقاً شرط اصلی تابع بودن است. پس چنین رابطهای حتماً یک تابع خواهد بود.
پاسخ: اصطلاح "تناظر یکبهیک" معمولاً برای توابع دوسویه به کار میرود. یعنی تابعی که هم یکبهیک است و هم پوشا. پس هر تابع دوسویهای یکبهیک هست، اما عکس آن درست نیست. یک تابع میتواند یکبهیک باشد بدون اینکه پوشا باشد.
پاسخ: خیر. برای اینکه یک تابع معکوسپذیر باشد (یعنی بتوانیم برای آن تابع معکوس تعریف کنیم)، تابع باید حتماً یکبهیک (اینژه) باشد. در غیر اینصورت، در تابع معکوس، یک عضو از مجموعه (که در تابع اصلی خروجی بوده) باید به دو ورودی متفاوت نسبت داده شود که با تعریف تابع مغایرت دارد.
پاورقیها
1چندتایی مرتب (Ordered Tuple): تعمیم یافتهٔ زوج مرتب به تعداد دلخواه مؤلفه. برای مثال سهتایی مرتب (a, b, c).
2رابطه (Relation): هر زیرمجموعه از حاصلضرب دو یا چند مجموعه.
3تابع (Function): رابطهای که به هر عضو از مجموعهٔ اول (دامنه) دقیقاً یک عضو از مجموعهٔ دوم (همدامنه) نسبت دهد.
4تابع یکبهیک یا اینژه (Injective Function): تابعی که در آن مقادیر مختلف دامنه به مقادیر مختلف در برد منجر میشوند.
5تابع پوشا یا سورژهکتیو (Surjective Function): تابعی که در آن برد با همدامنه برابر است؛ یعنی تمام اعضای مجموعهٔ دوم توسط حداقل یک عضو از مجموعهٔ اول تصویر میشوند.
6تابع دوسویه یا بیژهکتیو (Bijective Function): تابعی که هم یکبهیک و هم پوشا باشد. به آن تناظر یکبهیک نیز میگویند.
7معکوسپذیر (Invertible): به تابعی گویند که بتوان برای آن تابعی مانند g یافت به طوری که g(f(x)) = x و f(g(y)) = y. شرط لازم و کافی برای معکوسپذیری یک تابع، دوسویه بودن آن است.
