محل برخورد با زمین: جایی که ارتفاع صفر میشود
بررسی نقطهی برخورد پرتابهها با زمین، ریشههای معادله درجهدو و مفهوم فیزیکی صفر شدن ارتفاع در حرکتهای شتابدار
در این مقاله با مفهومی آشنا میشویم که پلی بین فیزیک حرکت پرتابهها و ریاضیات معادلات است: نقطهی برخورد با زمین. جایی که ارتفاع (y) به صفر میرسد و نمودار مسیر، محور افقی (x) را قطع میکند. با حل معادلهی درجهدو، زمان رسیدن به زمین را پیدا میکنیم و با مثالهای علمی و جداول مقایسه، این مفهوم را برای درک بهتر دانشآموزان دبیرستانی روشن میسازیم. مباحثی چون ریشههای معادله، دامنه و زمان پرواز نیز پوشش داده میشوند.
ریشهیابی معادلهی حرکت: از فیزیک تا ریاضیات
در حرکت پرتابهای، جسمی با سرعت اولیه و تحت زاویهای نسبت به افق پرتاب میشود. معادلهی مکان بر حسب زمان برای محور عمودی (y) به صورت زیر است:
$y(t) = y_0 + v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$
در این فرمول، $y_0$ ارتفاع اولیه، $v_{0y}$ مؤلفهی قائم سرعت اولیه و $g$ شتاب گرانش است. نقطهی برخورد با زمین زمانی رخ میدهد که $y(t) = 0$. با قرار دادن این شرط، به یک معادلهی درجهدو بر حسب $t$ میرسیم:
$-\frac{1}{2} g t^2 + v_{0y} t + y_0 = 0$
حل این معادله، دو ریشه به ما میدهد: یکی معمولاً منفی (غیرقابل قبول فیزیکی) و دیگری مثبت که همان زمان رسیدن به زمین است. به این زمان مثبت، زمان پرواز میگویند.
تأثیر پارامترهای اولیه بر نقطهی برخورد
زمان برخورد و مختصات افقی نقطهی برخورد به عوامل مختلفی وابسته است. در جدول زیر، تأثیر تغییر هر یک از پارامترها بر نقطهی برخورد نشان داده شده است:
| پارامتر | تغییر | تأثیر بر زمان برخورد | تأثیر بر برد افقی |
|---|---|---|---|
| ارتفاع اولیه ($y_0$) | افزایش | افزایش | افزایش |
| مؤلفهی قائم سرعت ($v_{0y}$) | افزایش | افزایش | افزایش |
| مؤلفهی افقی سرعت ($v_{0x}$) | بدون تغییر | افزایش | |
| شتاب گرانش ($g$) | افزایش | کاهش | کاهش |
مثال عملی: پرتاب توپ از روی یک سکو
فرض کنید توپی از روی یک سکو به ارتفاع 5 متر با سرعت اولیه 10 متر بر ثانیه و زاویه 30 درجه نسبت به افق پرتاب میشود. شتاب گرانش 9.8 متر بر مجذور ثانیه است. میخواهیم نقطهی برخورد توپ با زمین را پیدا کنیم.
ابتدا مؤلفههای سرعت را حساب میکنیم:
$v_{0x} = v_0 \cos \theta = 10 \times \cos 30^\circ \approx 8.66 \ m/s$
$v_{0y} = v_0 \sin \theta = 10 \times \sin 30^\circ = 5 \ m/s$
معادلهی حرکت عمودی:
$y(t) = 5 + 5t - 4.9t^2$
برای یافتن زمان برخورد، معادله $y(t)=0$ را حل میکنیم:
$-4.9t^2 + 5t + 5 = 0 \ \Rightarrow \ 4.9t^2 - 5t - 5 = 0$
با استفاده از فرمول حل معادله درجهدو $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ که در آن $a=4.9$، $b=-5$ و $c=-5$ است:
$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 98}}{9.8} = \frac{5 \pm \sqrt{123}}{9.8}$
ریشهها تقریباً برابرند با $t_1 \approx -0.62 \ s$ (غیرقابل قبول) و $t_2 \approx 1.64 \ s$. بنابراین زمان برخورد 1.64 ثانیه پس از پرتاب است.
مختصات افقی نقطهی برخورد (برد پرتابه) از رابطه $x = v_{0x} t$ به دست میآید:
$x = 8.66 \times 1.64 \approx 14.2 \ m$
نقطهی برخورد در فاصلهی تقریبی 14.2 متری از نقطهی پرتاب قرار دارد.
نکتهی فرمولی: در حالت کلی، اگر پرتابه از سطح زمین ($y_0 = 0$) پرتاب شود، زمان برخورد با زمین از رابطهی سادهتر $t = \frac{2 v_{0y}}{g}$ به دست میآید. این فرمول معادل با حالتی است که جسم به اوج رسیده و دوباره به ارتفاع اولیه بازگردد.
چالشهای مفهومی
❓ اگر جسمی را مستقیماً به سمت بالا پرتاب کنیم، نقطهی برخورد با زمین کجاست؟
در این حالت، سرعت افقی صفر است ($v_{0x}=0$). جسم دقیقاً در همان نقطهی پرتاب (مختصات افقی صفر) به زمین برمیگردد، مشروط بر اینکه از سطح زمین پرتاب شده باشد. اگر از ارتفاع پرتاب شود، مسیر عمودی خالص خواهد داشت و به همان نقطهی افقی برخورد میکند.
در این حالت، سرعت افقی صفر است ($v_{0x}=0$). جسم دقیقاً در همان نقطهی پرتاب (مختصات افقی صفر) به زمین برمیگردد، مشروط بر اینکه از سطح زمین پرتاب شده باشد. اگر از ارتفاع پرتاب شود، مسیر عمودی خالص خواهد داشت و به همان نقطهی افقی برخورد میکند.
❓ آیا همیشه دو ریشه برای معادلهی درجهدو خواهیم داشت؟ معنای فیزیکی آنها چیست؟
بله، معادلهی درجهدو همواره دو ریشه دارد (در مجموعه اعداد حقیقی، اگر $\Delta \ge 0$). یکی از ریشهها معمولاً منفی است که مربوط به زمانی قبل از پرتاب است (اگر مسیر را به عقب ادامه دهیم). ریشهی مثبت، همان زمان برخورد با زمین است. در موارد خاص، مانند پرتاب از سطح زمین ($y_0=0$)، ریشهها $t=0$ (زمان پرتاب) و $t=\frac{2v_{0y}}{g}$ (زمان برخورد) هستند.
بله، معادلهی درجهدو همواره دو ریشه دارد (در مجموعه اعداد حقیقی، اگر $\Delta \ge 0$). یکی از ریشهها معمولاً منفی است که مربوط به زمانی قبل از پرتاب است (اگر مسیر را به عقب ادامه دهیم). ریشهی مثبت، همان زمان برخورد با زمین است. در موارد خاص، مانند پرتاب از سطح زمین ($y_0=0$)، ریشهها $t=0$ (زمان پرتاب) و $t=\frac{2v_{0y}}{g}$ (زمان برخورد) هستند.
❓ اگر پرتابه به نقطهای با ارتفاع منفی برسد، چه معنایی دارد؟
ارتفاع منفی در معادله به این معناست که جسم به زیر سطح مرجع (که معمولاً سطح زمین است) رفته باشد. در مسائل فیزیک معمولی، قبل از رسیدن به این نقطه، جسم به زمین برخورد کرده و حرکت آن خاتمه مییابد. بنابراین بخشی از سهمی که زیر محور xها قرار دارد، از نظر فیزیکی معنی ندارد و نادیده گرفته میشود.
ارتفاع منفی در معادله به این معناست که جسم به زیر سطح مرجع (که معمولاً سطح زمین است) رفته باشد. در مسائل فیزیک معمولی، قبل از رسیدن به این نقطه، جسم به زمین برخورد کرده و حرکت آن خاتمه مییابد. بنابراین بخشی از سهمی که زیر محور xها قرار دارد، از نظر فیزیکی معنی ندارد و نادیده گرفته میشود.
دیدگاه نهایی: مفهوم نقطهی برخورد با زمین، نمونهای زیبا از تلفیق فیزیک و ریاضیات است. با دانستن معادلات حرکت و توانایی حل معادلهی درجهدو، میتوانیم مکان و زمان هر پرتابهای را پیش از انجام آزمایش پیشبینی کنیم. این دانش پایهای برای تحلیلهای پیچیدهتر در مکانیک کلاسیک و حتی طراحی مسیر موشکها و ماهوارهها است.
پاورقیها
1پرتابه (Projectile): به هر جسمی که در میدان گرانش زمین و با چشمپوشی از مقاومت هوا حرکت کند، پرتابه میگویند.
2شتاب گرانش (Gravitational Acceleration): شتابی است که زمین به اجسام وارد میکند و مقدار تقریبی آن $9.8 \ m/s^2$ است.
3برد (Range): به فاصلهی افقی بین نقطهی پرتاب و نقطهی برخورد پرتابه با زمین گفته میشود.
2شتاب گرانش (Gravitational Acceleration): شتابی است که زمین به اجسام وارد میکند و مقدار تقریبی آن $9.8 \ m/s^2$ است.
3برد (Range): به فاصلهی افقی بین نقطهی پرتاب و نقطهی برخورد پرتابه با زمین گفته میشود.
