تابع: از مجموعه A به مجموعه B
تعریف دقیق تابع و اجزای آن
فرض کنید دو مجموعه A و B داریم. یک تابع f از مجموعه A به مجموعه B که آن را با f: A → B نشان میدهیم، قانونی است که به هر عضو x که متعلق به A است (به آن ورودی یا x گوییم)، دقیقاً یک عضو y از مجموعه B را نسبت میدهد. این عضو منحصربهفرد را با f(x) نشان میدهیم.
به عبارت سادهتر، تابع یک ماشین است. اگر به آن یک ماده خام (ورودی) بدهیم، به ما یک محصول (خروجی) مشخص و یکتا تحویل میدهد.
اجزای اصلی تابع:
- دامنهDomain : مجموعهای از تمام ورودیهای ممکن برای تابع است. در تعریف ما، این همان مجموعه A است.
- همدامنهCodomain : مجموعهای است که خروجیهای تابع از آن انتخاب میشوند. در تعریف ما، این مجموعه B است. توجه کنید که لزومی ندارد تمام اعضای B حتماً به عنوان خروجی ظاهر شوند.
- بردRange : مجموعهای از خروجیهای واقعی تابع است. به عبارت دیگر، برد زیرمجموعهای از همدامنه است و شامل تمام مقادیر f(x) به ازای x∈A میباشد.
| جزء تابع | نماد | توضیح ساده | مثال |
|---|---|---|---|
| دامنه | A یا D_f | همه چیزهایی که میتوان به ماشین داد. | {1,2,3} |
| همدامنه | B | مجموعهای که خروجیها از آن جنس هستند. | {2,4,6,8} |
| برد | R_f | چیزهایی که ماشین واقعاً تولید میکند. | {2,4,6} |
روشهای نمایش توابع
توابع را میتوان به چهار روش اصلی نمایش داد که هر کدام کاربرد خاص خود را دارند:
- نمایش زوجهای مرتب: تابع به صورت مجموعهای از زوجهای مرتب (x, y) نوشته میشود که در آن هیچ دو زوج مرتب، اولین مؤلفهی یکسان ندارند. مثال: {(1,2), (2,3), (3,4)}.
- نمایش جدول: مقادیر ورودی و خروجی در یک جدول نمایش داده میشوند. این روش برای توابع گسسته بسیار مناسب است.
- نمایش نمودار ون: با رسم دو دایره برای مجموعهها و فلشهایی از اعضای دامنه به اعضای همدامنه. این روش بصریترین روش است.
- نمایش عبارت جبری (فرمول): رایجترین روش، مخصوصاً در ریاضیات پیوسته. مثال: f(x) = 2x + 1.
انواع توابع بر اساس ویژگیها
توابع بر اساس چگونگی ارتباط عناصر دامنه و برد به دستههای مهمی تقسیم میشوند:
| نوع تابع | شرط | مثال عددی |
|---|---|---|
| تابع یکبهیک (تزویجی)Injective | به ازای x1 ≠ x2، داریم f(x1) ≠ f(x2). هر خروجی فقط از یک ورودی حاصل میشود. | f(x)=3x روی اعداد صحیح |
| تابع پوشا (تصویری)Surjective | برد تابع با همدامنه آن برابر است. یعنی همه اعضای B حتماً خروجی دارند. | f(x)=x^3 از ℝ به ℝ |
| تابع دوسویی (یکبهیک و پوشا)Bijective | هم شرط یکبهیک و هم شرط پوشایی برقرار است. این توابع وارونپذیرند. | f(x)=x+2 از ℝ به ℝ |
تشخیص توابع از روی نمودار (آزمون خط عمودی)
یک راه ساده برای تشخیص این که یک نمودار، یک تابع است یا نه، استفاده از "آزمون خط عمودی" است. در این آزمون، خطوطی موازی محور yها (عمودی) رسم میکنیم. اگر هر خط عمودی، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند، آن نمودار یک تابع است. اگر خطی بتواند نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، رابطه یک تابع نیست، زیرا یک ورودی (x) به دو خروجی (y) مختلف وصل شده است.
کاربرد عملی توابع در زندگی روزمره
شاید فکر کنید توابع فقط در کلاس ریاضی کاربرد دارند، اما این طور نیست. هر جا که یک کمیت به کمیت دیگر وابسته باشد، ردپای تابع دیده میشود.
- ماشین حساب: دکمههای ماشین حساب مانند x^2 یا sin یک تابع هستند. شما یک عدد به عنوان ورودی میدهید و ماشین حساب یک عدد مشخص را به شما برمیگرداند.
- تبدیل واحدها: تبدیل دما از سلسیوس به فارنهایت یک تابع است: F(C) = \frac{9}{5}C + 32. هر درجه سلسیوس (C) دقیقاً یک درجه فارنهایت (F) تولید میکند.
- محاسبه هزینه پست: هزینه ارسال بسته بر اساس وزن آن محاسبه میشود. اگر وزن مشخص باشد، هزینه آن منحصربهفرد است.
- رابطه قد و کفش: معمولاً هر فرد یک اندازه کفش مشخص دارد. میتوان گفت تابعی از مجموعه افراد به مجموعه اندازههای کفش داریم (البته با تقریب).
چالشهای مفهومی
❓ سوال ۱: آیا رابطه y^2 = x یک تابع است؟ چرا؟
✅ پاسخ: خیر. اگر x = 4 باشد، آنگاه y میتواند 2 یا -2 باشد. یعنی یک ورودی (x) به دو خروجی متفاوت نسبت داده میشود که با تعریف تابع (دقیقاً یک خروجی) مغایرت دارد.
❓ سوال ۲: تفاوت بین توابع یکبهیک و پوشا در چیست؟
✅ پاسخ: در تابع یکبهیک، هر خروجی متمایز، از یک ورودی متمایز حاصل میشود (رابطه دو به دو است). در تابع پوشا، تمرکز روی همدامنه است و تضمین میکند که هیچ عضوی از همدامنه بیاستفاده نمانده باشد. یک تابع میتواند یکبهیک باشد بدون این که پوشا باشد و بالعکس.
❓ سوال ۳: چرا در تعریف تابع گفتیم "دقیقاً یک عضو"؟ چرا نمیتواند صفر عضو یا بیش از یک عضو باشد؟
✅ پاسخ: اگر یک عضو از دامنه، هیچ خروجی نداشته باشد (صفر عضو)، آن عنصر در فرآیند تبدیل شرکت نکرده و عملاً قانون تابع برای آن تعریف نشده است. اگر بیش از یک خروجی داشته باشد، قانون تابع مبهم و غیرقابل پیشبینی میشود. "دقیقاً یک عضو" تضمین میکند که تابع یک قانون شفاف و یکتا است که برای هر ورودی، یک خروجی معین و مشخص تولید میکند.
پاورقی
1تابع (Function): در ریاضیات، به رابطهای گفته میشود که هر عنصر از مجموعه دامنه را به دقیقاً یک عنصر از مجموعه همدامنه مرتبط میکند.
2دامنه (Domain): مجموعه همه مقادیر مجاز ورودی برای یک تابع.
3همدامنه (Codomain): مجموعهای که شامل تمام مقادیر خروجی ممکن یک تابع است.
4برد (Range): مجموعه تمام مقادیری که تابع واقعاً به عنوان خروجی تولید میکند.
5یکبهیک (Injective): تابعی که در آن عناصر متمایز دامنه به عناصر متمایز همدامنه نگاشته میشوند.
6پوشا (Surjective): تابعی که در آن برد با همدامنه برابر است.
7دوسویی (Bijective): تابعی که هم یکبهیک و هم پوشا باشد.
