نمودار پیکانی: پلی بصری میان مجموعهها
مبانی نمایش پیکانی: از تعریف تا اجرا
نمودار پیکانی که گاهی به آن نمودار تناظر نیز گفته میشود، روشی بصری برای نشان دادن ارتباط بین اعضای دو مجموعه است. فرض کنید مجموعه A به عنوان دامنه و مجموعه B به عنوان همدامنه داریم. برای هر عضو از مجموعه A که با عضوی در مجموعه B ارتباط داشته باشد، یک پیکان از آن عضو در A به سوی عضو متناظر در B رسم میکنیم. این پیکانها جهت رابطه را مشخص میکنند و به ما نشان میدهند که «چه کسی به چه کسی متصل است».
برای مثال، رابطه «برادر بزرگتر بودن» را در نظر بگیرید. مجموعه A = {علی، رضا، محمود} و مجموعه B = {سارا، حسن، زهرا} را داریم. اگر علی برادر بزرگتر سارا و رضا برادر بزرگتر حسن باشد، پیکانی از علی به سارا و پیکانی از رضا به حسن رسم میشود. محمود که برادر بزرگتر هیچکدام نیست، هیچ پیکانی از او خارج نمیشود و زهرا نیز که کسی او را به عنوان برادر بزرگتر معرفی نکرده، پیکانی به سمت او وارد نخواهد شد.
<!-- تراشه برای مفهوم زوج مرتب --> ? زوج مرتب: هر پیکان در نمودار، یک زوج مرتب (a,b) را نشان میدهد که در آن a∈A و b∈B.گونهشناسی روابط در نمودار پیکانی
با نگاه به الگوی پیکانهای ترسیم شده، میتوان نوع رابطه را تشخیص داد. مهمترین انواع رابطه که با این نمودار قابل شناسایی هستند عبارتند از:
<!-- جدول ریسپانسیو برای مقایسه انواع رابطه -->| نوع رابطه | ویژگی در نمودار پیکانی | مثال ریاضی |
|---|---|---|
| تابع (Fonksiyon) | از هر عضو دامنه دقیقاً یک پیکان خارج میشود. | f(x) = x+1 روی مجموعه اعداد طبیعی |
| تابع یکبهیک (Injective) | به هر عضو همدامنه حداکثر یک پیکان وارد میشود. | f(x) = 2x |
| تابع پوشا (Surjective) | به هر عضو همدامنه حداقل یک پیکان وارد میشود. | f(x) = x mod 2 روی {0,1} |
| رابطه غیرتابعی | دستکم یک عضو دامنه بیش از یک پیکان خروجی دارد. | رابطه «همسن بودن» (هر کس با چند نفر) |
به عنوان نمونه، رابطه R = {(1,a), (1,b), (2,c)} را در نظر بگیرید. در نمودار پیکانی، از عضو 1 دو پیکان خارج میشود (به a و b) و از عضو 2 یک پیکان به c. طبق تعریف، این یک تابع نیست، زیرا شرط «یکتایی بودن خروجی» برای عضو 1 نقض شده است.
کاربرد عینی: رمزگشایی از یک نظرسنجی ساده
فرض کنید در یک کلاس درس، از دانشآموزان پرسیده شود که کدام یک از سه کتاب «الف»، «ب» و «ج» را مطالعه کردهاند. نتایج به این شرح است:
- علی: کتابهای «الف» و «ب»
- سارا: کتاب «الف»
- رضا: کتاب «ج»
- نگار: هیچ کتابی
اگر مجموعه دانشآموزان را دامنه و مجموعه کتابها را همدامنه در نظر بگیریم، نمودار پیکانی این رابطه به سادگی نشان میدهد که از علی دو پیکان (به الف و ب)، از سارا یک پیکان (به الف)، از رضا یک پیکان (به ج) خارج میشود و از نگار هیچ پیکانی خارج نمیشود. این نمودار به ما اجازه میدهد تا در یک نگاه بفهمیم:
✔️ کدام کتاب محبوبتر است (بیشترین پیکانهای ورودی)
✔️ کدام دانشآموز بیشتر مطالعه کرده است
✔️ این رابطه یک تابع نیست (چون علی دو کتاب خوانده)
چالشهای مفهومی
<!-- سوال 1 -->پاسخ: بله، الزامی نیست که همه اعضای همدامنه حتماً پیکان ورودی داشته باشند. در تابع، شرط اصلی این است که از هر عضو دامنه دقیقاً یک پیکان خارج شود. اینکه عضوی در همدامنه اصلاً پیکانی دریافت نکند یا چندین پیکان دریافت کند، تأثیری در تابع بودن یا نبودن ندارد (البته نوع تابع را به پوشا یا غیرپوشا تغییر میدهد).
پاسخ: هر دو روش یک مفهوم را بیان میکنند. در نمایش زوجمرتب، رابطه به صورت مجموعهای از زوجها نوشته میشود (مانند {(1,a), (2,b)})، اما در نمودار پیکانی، همان زوجها به صورت تصویری و با پیکان نمایش داده میشوند. مزیت نمودار پیکانی در شهودی بودن آن است؛ به ویژه برای روابط با تعداد اعضای کم، درک همزمان همه ارتباطات را آسان میکند.
پاسخ: یک رابطه یکبهیک (تابع تزریقی) است اگر هم شرط تابع بودن را داشته باشد (هر عضو دامنه یک پیکان خروجی) و هم هیچ دو پیکانی به یک عضو مشترک در همدامنه ختم نشوند. به عبارت دیگر، مقصد همه پیکانها متمایز هستند. در نمودار، اگر دقت کنید که به هیچ عضو همدامنه بیش از یک پیکان وارد نشده باشد، رابطه یکبهیک است.
پاورقیها
- 1دامنه (Domain): مجموعهای از عناصر که به عنوان شروعکننده رابطه در نظر گرفته میشوند (معادل انگلیسی: Domain).
- 2همدامنه (Codomain): مجموعهای که عناصر آن میتوانند به عنوان مقصد پیکانها ظاهر شوند (معادل انگلیسی: Codomain).
- 3تابع (Function): نوع خاصی از رابطه که در آن هر عنصر دامنه دقیقاً به یک عنصر همدامنه مرتبط میشود (معادل انگلیسی: Function).
- 4یکبهیک (Injective): تابعی که در آن عناصر متمایز دامنه، به عناصر متمایز همدامنه نگاشته میشوند (معادل انگلیسی: Injective / One-to-one).
- 5پوشا (Surjective): تابعی که در آن هر عنصر همدامنه، دستکم یک بار به عنوان مقصد پیکان ظاهر میشود (معادل انگلیسی: Surjective / Onto).
