تابع: پل ارتباطی میان دو مجموعه
تعریف تابع: قانون جفتوجور کردن دقیق
تصور کنید یک دستگاه آبمیوهگیری دارید. شما به آن ورودی میدهید (مثلاً یک سیب) و دستگاه به شما یک خروجی تحویل میدهد (آب سیب). اگر همیشه یک سیب به دستگاه بدهید، همیشه آب سیب دریافت خواهید کرد، نه گاهی آب سیب و گاهی آب پرتقال. این دقیقاً همان ایدهی اصلی تابع است.
در ریاضیات، تابع رابطهای بین دو مجموعه است که به هر عضو از مجموعه اول (که به آن دامنه1 میگوییم) دقیقاً یک عضو از مجموعه دوم (که به آن همدامنه2 میگوییم) نسبت دهد. مجموعه مقادیر حقیقیای که از این نسبتدهی به وجود میآید، برد3 تابع نام دارد. برای نشان دادن یک تابع معمولاً از حرفی مانند f استفاده میکنیم و مینویسیم: $f: X \rightarrow Y$. این یعنی تابع f اعضای مجموعه X را به اعضای مجموعه Y میبرد.
زوجهای مرتب و نمایش تابع
برای نمایش اعضای یک تابع از زوج مرتب4 استفاده میکنیم. در یک زوج مرتب مانند (a, b)، عضو اول (a) از دامنه و عضو دوم (b) از همدامنه است. شرط اصلی تابع این است که هیچ دو زوج مرتب متمایزی نمیتوانند اولین مؤلفهی یکسان داشته باشند. یعنی اگر (a, b) و (a, c) در تابع وجود داشته باشند، حتماً باید b = c باشد.
توابع را معمولاً به یکی از چهار روش زیر نمایش میدهیم:
- روش مجموعهای: فهرست کردن زوجهای مرتب. مثال: $f = \{(1,2), (2,3), (3,4)\}$
- روش ضابطهای: استفاده از یک فرمول ریاضی. مثال: $f(x) = x^2$
- روش جدولی: قرار دادن مقادیر ورودی و خروجی در یک جدول.
- روش نموداری: رسم نقاط (زوجهای مرتب) در یک دستگاه مختصات.
انواع توابع: از یکبهیک تا پوشا
توابع بر اساس نوع جفتوجور کردن اعضا، دستهبندیهای جالبی دارند که درک آنها به ما در تحلیل روابط کمک میکند.
| نوع تابع | شرط اصلی | مثال | وضعیت |
|---|---|---|---|
| یکبهیک (تزریقی)5 | اعضای مختلف دامنه به اعضای مختلف برد نسبت داده شوند. | $f(x)=2x$ | تضمینی |
| پوشا (پوششی)6 | برد تابع با کل همدامنه برابر باشد (همه اعضای مجموعه دوم استفاده شوند). | $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{\ge 0}, f(x)=x^2$ | تضمینی |
| دوسو (یکبهیک و پوشا) | هم شرط یکبهیک و هم شرط پوشا را داشته باشد. | $f(x)=x+1$ | تضمینی |
| ثابت | همه اعضای دامنه را به یک عضو ثابت از همدامنه نسبت دهد. | $f(x)=5$ | غیر پوشا |
کاربرد عملی: تابع در زندگی روزمره و علوم
مفهوم تابع تنها محدود به کلاس ریاضی نیست. هر جا که یک وابستگی دقیق و یکتا بین دو کمیت وجود داشته باشد، ردپای تابع را میبینیم.
- تبدیل واحدها: رابطهی تبدیل دما از سلسیوس به فارنهایت یک تابع است. $F(C) = \frac{9}{5}C + 32$. به ازای هر درجه سلسیوس، فقط یک درجه فارنهایت داریم.
- محاسبه مساحت: مساحت یک دایره تابعی از شعاع آن است. $A(r) = \pi r^2$.
- علوم کامپیوتر: در برنامهنویسی، توابع قطعه کدی هستند که برای یک ورودی مشخص، یک خروجی یکتا برمیگردانند. برای مثال تابع $square(x) = x * x$.
- دستگاههای خودپرداز: اگر تابع را دستگاهی در نظر بگیریم که ورودی آن مبلغ درخواستی و کارت بانکی است، خروجی آن مقداری اسکناس است. این دستگاه برای یک درخواست مشخص، نمیتواند دو مقدار متفاوت اسکناس تحویل دهد!
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. رابطهی "پدر بودن" را در نظر بگیرید. یک پدر میتواند چند فرزند داشته باشد، اما یک فرزند فقط یک پدر دارد. اگر رابطه را از مجموعه فرزندان به مجموعه پدران تعریف کنیم، به هر فرزند یک پدر نسبت داده میشود (شرط تابع برقرار است). اما اگر رابطه را از مجموعه پدران به مجموعه فرزندان تعریف کنیم، یک پدر میتواند به چند فرزند نسبت داده شود. این رابطه یک تابع نیست، چون به یک ورودی (پدر)، بیش از یک خروجی (فرزند) نسبت داده شده است.
پاسخ: همدامنه مجموعهای است که ما تعیین میکنیم مقادیر تابع از میان آن انتخاب شوند (مجموعه مقادیر مجاز خروجی). اما برد مجموعهای از مقادیری است که تابع واقعاً به آنها "دست پیدا میکند". برد زیرمجموعهای از همدامنه است. برای مثال در تابع $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x^2$، همدامنه همه اعداد حقیقی هستند، اما برد فقط اعداد حقیقی نامنفی است.
پاسخ: به مجموعه تمام زوجهای مرتب یک تابع، "نمودار" تابع میگوییم. وقتی این زوجها را روی صفحه مختصات رسم میکنیم، شکل حاصل را نیز نمودار تابع مینامیم. بنابراین "نمودار تابع" دقیقاً همان تابع است که به صورت گرافیکی نمایش داده شده است.
