قدر مطلق: فاصله از مبدأ در محور اعداد
تعریف و مفهوم هندسی قدر مطلق
قدر مطلق یک عدد حقیقی مانند $x$ که با نماد $|x|$ نشان داده میشود، فاصلهٔ آن عدد از نقطهٔ صفر (مبدأ) روی محور اعداد حقیقی است. از آنجا که فاصله همیشه مقداری نامنفی است، قدر مطلق هر عدد حقیقی نیز همیشه بزرگتر یا مساوی صفر خواهد بود.
مثال: فاصلهٔ عدد $5$ از مبدأ برابر $5$ واحد است. بنابراین $|5| = 5$. فاصلهٔ عدد $-3$ از مبدأ نیز $3$ واحد است، زیرا جهت ندارد؛ بنابراین $|-3| = 3$.
ویژگیهای جبری قدر مطلق
قدر مطلق از قواعد جبری خاصی پیروی میکند که در حل مسائل بسیار کارآمد هستند. مهمترین این ویژگیها عبارتند از:
| ویژگی | فرمول ریاضی | توضیح |
|---|---|---|
| نامنفی بودن | $|x| \ge 0$ | قدر مطلق هر عدد، هرگز منفی نیست. |
| صفر بودن | $|x| = 0 \iff x = 0$ | تنها عددی که قدر مطلقش صفر است، خود صفر است. |
| ضرب | $|xy| = |x| \cdot |y|$ | قدر مطلق حاصلضرب، برابر حاصلضرب قدر مطلقهاست. |
| تقسیم | $|\frac{x}{y}| = \frac{|x|}{|y|}, \ y \ne 0$ | قدر مطلق یک تقسیم، خارج قسمت قدر مطلقهاست. |
| توان | $|x^n| = |x|^n$ | قدر مطلق یک توان، برابر توان قدر مطلق پایه است. |
| نامساوی مثلثی | $|x+y| \le |x| + |y|$ | قدر مطلق مجموع دو عدد، از مجموع قدر مطلق آنها بیشتر نیست. |
| فاصله | $|x-y|$ | فاصلهٔ دو نقطه $x$ و $y$ روی محور. |
حل معادلات قدر مطلقی
برای حل معادلاتی که عبارت قدر مطلق در آنها ظاهر میشود، باید تعریف قدر مطلق را مبنا قرار دهیم. معادلهٔ $|x| = a$ (که $a$ یک عدد حقیقی است) سه حالت دارد:
- اگر $a \lt 0$ باشد، معادله هیچ جوابی ندارد، زیرا قدر مطلق هرگز منفی نمیشود.
- اگر $a = 0$ باشد، معادله یک جواب منحصربهفرد دارد: $x = 0$.
- اگر $a \gt 0$ باشد، معادله دو جواب دارد: $x = a$ و $x = -a$.
مثال عینی: فرض کنید میخواهیم معادلهٔ $|2x - 1| = 7$ را حل کنیم. با توجه به تعریف، دو حالت داریم:
$2x - 1 = 7 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4$
$2x - 1 = -7 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$
بنابراین مجموعه جواب $\{-3, 4\}$ است.
حل نامعادلات قدر مطلقی
نامعادلات قدر مطلقی نیز بر اساس مقدار $a$ حل میشوند و تفسیر هندسی آنها بسیار گویاست. نامعادلهٔ $|x| \lt a$ به معنای فاصلهٔ $x$ از مبدأ، کمتر از $a$ واحد است که منجر به بازهٔ $(-a, a)$ میشود. در مقابل، $|x| \gt a$ به معنای فاصلهای بیشتر از $a$ واحد است که جواب آن دو بازهٔ $(-\infty, -a) \cup (a, \infty)$ خواهد بود.
| فرم نامعادله | تفسیر هندسی | جواب (برای $a \gt 0$) |
|---|---|---|
| $|x| \lt a$ | فاصله از مبدأ کمتر از $a$ | $-a \lt x \lt a$ |
| $|x| \le a$ | فاصله از مبدأ حداکثر $a$ | $-a \le x \le a$ |
| $|x| \gt a$ | فاصله از مبدأ بیشتر از $a$ | $x \lt -a$ یا $x \gt a$ |
| $|x| \ge a$ | فاصله از مبدأ حداقل $a$ | $x \le -a$ یا $x \ge a$ |
کاربرد قدر مطلق در اندازهگیری خطا
یکی از مهمترین کاربردهای قدر مطلق در زندگی روزمره و علوم تجربی، محاسبهٔ خطا است. فرض کنید در یک آزمایش علمی، مقدار واقعی یک کمیت $x$ است، اما ما در اندازهگیری به مقدار تقریبی $x_0$ رسیدهایم. خطای مطلق اندازهگیری برابر است با $|x - x_0|$. این عبارت نشان میدهد که اندازهگیری ما چقدر از مقدار واقعی دور شده است، بدون آنکه جهت این دورشدن (بیشتر یا کمتر بودن) اهمیتی داشته باشد.
مثال: فرض کنید طول یک میز را $150$ سانتیمتر اندازهگیری کردهایم، در حالی که طول واقعی آن $148.5$ سانتیمتر است. خطای مطلق اندازهگیری برابر است با $|150 - 148.5| = 1.5$ سانتیمتر. این عدد به ما میگوید اندازهگیری ما $1.5$ سانتیمتر با واقعیت فاصله دارد.
چالشهای مفهومی
❓ چرا قدر مطلق $-x$ همیشه با قدر مطلق $x$ برابر است؟
این به دلیل تعریف هندسی قدر مطلق است. فاصلهٔ $-x$ از مطلقاً صفر دقیقاً به اندازهٔ فاصلهٔ $x$ از صفر است، زیرا این دو نقطه در دو طرف مبدأ قرار دارند ولی فاصلهٔ هر دو تا مبدأ یکی است. از نظر جبری نیز اگر $x$ را در تعریف قرار دهیم، به جواب میرسیم.
❓ آیا میتوانیم بگوییم $\sqrt{x^2} = x$؟
خیر! این یک اشتباه رایج است. در حالت کلی $\sqrt{x^2} = |x|$. زیرا جذر یک عدد، همیشه یک مقدار نامنفی را برمیگرداند. به عنوان مثال، $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ که برابر $|-3|$ است، نه $-3$.
❓ چه زمانی $|x+y| = |x| + |y|$ برقرار است؟
این تساوی در نامساوی مثلثی به صورت کلی برقرار نیست، بلکه یک حالت خاص است. تساوی زمانی رخ میدهد که $x$ و $y$ هر دو همعلامت باشند (هر دو مثبت یا هر دو منفی). در این صورت جهت آنها یکی است و فاصلهٔ مجموع آنها از مبدأ، با مجموع فاصلههایشان برابر خواهد بود.
پاورقی
1قدر مطلق (Absolute Value): در ریاضیات، تابعی است که هر عدد حقیقی را به مقدار نامنفی آن نظیر میکند. این مقدار بیانگر فاصلهٔ عدد از صفر است.
