حل نامعادلات به روش جدول تعیین علامت
آموزش گامبهگام یافتن بازههای مثبت و منفی عبارتهای جبری با استفاده از جدول علائم
خلاصه: در این مقاله با روشی سیستماتیک برای حل نامعادلات[1] آشنا میشویم. با استفاده از جدول تعیین علامت[2]، نقاط بحرانی[3] را پیدا کرده و با بررسی علامت عبارت در بازههای مختلف، جواب نامعادله را بهصورت مجموعهای از بازهها مشخص میکنیم. مثالهای متنوع و گامبهگام، درک این مفهوم کلیدی از ریاضیات دبیرستان را آسانتر میسازد.
مفاهیم پایه: عبارتهای جبری و علامت آنها
هر عبارت جبری (مانند $x^{2}-4x+3$ یا $\frac{x-2}{x+1}$) برای مقادیر مختلف $x$، میتواند مقداری مثبت، منفی یا صفر داشته باشد. هدف ما در حل یک نامعادله، یافتن مقادیری از $x$ است که عبارت مورد نظر در آنها از یک مقدار مشخص بزرگتر ($\gt$)، کوچکتر ($\lt$)، یا مخالف ($\ge$، $\le$) باشد. نقاط بحرانی، مقادیری از متغیر هستند که عبارت در آنها صفر میشود (ریشههای معادلهی $عبارت = 0$) یا عبارت در آن نقاط تعریفنشده است (مانند ریشهی مخرج در عبارات گویا). این نقاط، محور اعداد حقیقی را به بازههایی تقسیم میکنند که در هر یک، علامت عبارت ثابت است.
نکته: برای تعیین علامت یک عبارت، ابتدا آن را به صورت حاصلضرب عوامل درجه اول (مانند $(x-a)$) یا عوامل درجه دوم با دلتای منفی (که همیشه مثبت یا همیشه منفی هستند) تجزیه میکنیم. علامت عبارت از ضرب علامت این عوامل بهدست میآید.
گامهای طلایی برای رسم جدول تعیین علامت
روش کار بسیار ساده و مرحلهای است. فرض کنید میخواهیم نامعادلهی $(x+1)(x-3) \gt 0$ را حل کنیم. 1. **پیدا کردن نقاط بحرانی:** عبارت را مساوی صفر قرار میدهیم: $(x+1)(x-3)=0$. ریشهها $x=-1$ و $x=3$ هستند. 2. **مرتبسازی و رسم محور:** نقاط بحرانی را روی یک خط افقی به ترتیب از کوچک به بزرگ مرتب کرده و رسم میکنیم. این نقاط، محور اعداد را به سه بازه تقسیم میکنند: $(-\infty, -1)$، $(-1, 3)$ و $(3, +\infty)$. 3. **بررسی علامت در یک بازه:** در هر بازه، یک مقدار آزمایشی (بهعنوان مثال $x=-2$ برای بازه اول، $x=0$ برای بازه دوم و $x=4$ برای بازه سوم) انتخاب کرده و علامت عبارت را محاسبه میکنیم. 4. **پر کردن جدول:** جدولی میسازیم که سطر اول آن بازهها و سطر دوم آن علامت عبارت در آن بازهها باشد.| بازه | $(-\infty, -1)$ | $(-1, 3)$ | $(3, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| علامت $(x+1)(x-3)$ | مثبت (+) | منفی (-) | مثبت (+) |
حل نامعادلات گویا: چالش مخرج صفر
در نامعادلات گویا مانند $\frac{x-1}{x-4} \le 0$، نقاط بحرانی شامل ریشههای صورت ($x=1$) و ریشههای مخرج ($x=4$) هستند. نکتهی بسیار مهم این است که نقاطی که مخرج را صفر میکنند، هرگز نمیتوانند در جواب نامعادله باشند، زیرا عبارت در آن نقاط تعریفنشده است. هنگام نوشتن جواب، این نقاط را باید با پرانتز (بازهی باز) نشان دهیم. مراحل حل: 1. نقاط بحرانی: $x=1$ (صورت صفر) و $x=4$ (مخرج صفر). محور به سه بازه تقسیم میشود. 2. تعیین علامت: یک مقدار آزمایشی از هر بازه انتخاب میکنیم (مثلاً $0$، $2$ و $5$) و علامت عبارت را مییابیم.| بازه | $(-\infty, 1)$ | $(1, 4)$ | $(4, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| علامت $\frac{x-1}{x-4}$ | مثبت (+) | منفی (-) | مثبت (+) |
کاربرد عملی: مدلسازی یک مسئله سود و زیان
فرض کنید یک شرکت تولیدکننده گوشی موبایل، سود خود را بر حسب تعداد گوشیهای تولیدی (به هزاران عدد) با تابع $P(x) = -x^{2} + 5x - 4$ میلیون تومان مدلسازی کرده است. شرکت میخواهد بداند در چه بازهای از تولید، سود آن مثبت است ($P(x) \gt 0$). ابتدا نامعادله را مینویسیم: $-x^{2} + 5x - 4 \gt 0$. برای سادگی، کل عبارت را در $-1$ ضرب میکنیم (فراموش نکنیم که جهت نامعادله عوض میشود): $x^{2} - 5x + 4 \lt 0$. سپس عبارت را تجزیه میکنیم: $(x-1)(x-4) \lt 0$. نقاط بحرانی $x=1$ و $x=4$ هستند. با رسم جدول تعیین علامت متوجه میشویم که این عبارت در بازهی $(1, 4)$ منفی است (چون نامعادله ما $\lt 0$ شده بود). بنابراین جواب $1 \lt x \lt 4$ است. این یعنی شرکت اگر بین $1000$ تا $4000$ گوشی تولید کند، سود خواهد داشت. تولید کمتر از $1000$ یا بیشتر از $4000$ عدد، برای شرکت زیانده است.چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: اگر عبارت شامل یک عامل درجه دوم با دلتای منفی باشد، چه طور؟
پاسخ: عامل درجه دوم با دلتای منفی (مانند $x^{2}+x+1$) هیچ ریشهی حقیقی ندارد و همواره مثبت است (اگر ضریب $x^{2}$ مثبت باشد) یا همواره منفی است (اگر ضریب $x^{2}$ منفی باشد). این عوامل در تعیین نقاط بحرانی نقشی ندارند، اما در علامت نهایی عبارت تأثیرگذارند. میتوان آنها را بهعنوان یک عدد ثابت مثبت یا منفی در نظر گرفت و در جدول، یک سطر جداگانه برای علامت آنها رسم نکرد، بلکه علامت ثابتشان را در علامت نهایی ضرب کرد.
پاسخ: عامل درجه دوم با دلتای منفی (مانند $x^{2}+x+1$) هیچ ریشهی حقیقی ندارد و همواره مثبت است (اگر ضریب $x^{2}$ مثبت باشد) یا همواره منفی است (اگر ضریب $x^{2}$ منفی باشد). این عوامل در تعیین نقاط بحرانی نقشی ندارند، اما در علامت نهایی عبارت تأثیرگذارند. میتوان آنها را بهعنوان یک عدد ثابت مثبت یا منفی در نظر گرفت و در جدول، یک سطر جداگانه برای علامت آنها رسم نکرد، بلکه علامت ثابتشان را در علامت نهایی ضرب کرد.
❓ چالش ۲: تفاوت نامعادلات $\gt 0$ و $\ge 0$ در جواب نهایی چیست؟
پاسخ: در نامعادلات $\gt$ یا $\lt$، نقاط بحرانی (ریشههای صورت و مخرج) هرگز در جواب وارد نمیشوند و بازهها به صورت باز نوشته میشوند. در نامعادلات $\ge$ یا $\le$، نقاط بحرانی حاصل از صورت (نه مخرج) اگر در شرط نامعادله (برابر با صفر) صدق کنند، باید با کروشه بسته به جواب اضافه شوند. مثلاً برای $(x-1)(x-2) \ge 0$ جواب $(-\infty,1] \cup [2,+\infty)$ است.
پاسخ: در نامعادلات $\gt$ یا $\lt$، نقاط بحرانی (ریشههای صورت و مخرج) هرگز در جواب وارد نمیشوند و بازهها به صورت باز نوشته میشوند. در نامعادلات $\ge$ یا $\le$، نقاط بحرانی حاصل از صورت (نه مخرج) اگر در شرط نامعادله (برابر با صفر) صدق کنند، باید با کروشه بسته به جواب اضافه شوند. مثلاً برای $(x-1)(x-2) \ge 0$ جواب $(-\infty,1] \cup [2,+\infty)$ است.
❓ چالش ۳: اگر عبارت شامل قدر مطلق باشد، چگونه تعیین علامت کنیم؟
پاسخ: برای عبارات قدرمطلقی[4]، باید بازههای مختلف را بر اساس صفر شدن عبارت داخل قدر مطلق تفکیک کرد. در هر بازه، با توجه به علامت عبارت داخل قدر مطلق، آن را باز کرده و سپس نامعادله را مانند حالت عادی حل میکنیم. برای مثال، برای $|x-2| \gt 3$، نقطهی بحرانی $x=2$ است. در بازهی $x \ge 2$، قدر مطلق را با $x-2$ و در بازهی $x \lt 2$، آن را با $-(x-2)$ جایگزین کرده و نامعادله را حل میکنیم. سپس جوابهای بهدستآمده از هر بازه را با آن بازه اشتراک گرفته و در نهایت همه را با هم اجتماع میکنیم.
پاسخ: برای عبارات قدرمطلقی[4]، باید بازههای مختلف را بر اساس صفر شدن عبارت داخل قدر مطلق تفکیک کرد. در هر بازه، با توجه به علامت عبارت داخل قدر مطلق، آن را باز کرده و سپس نامعادله را مانند حالت عادی حل میکنیم. برای مثال، برای $|x-2| \gt 3$، نقطهی بحرانی $x=2$ است. در بازهی $x \ge 2$، قدر مطلق را با $x-2$ و در بازهی $x \lt 2$، آن را با $-(x-2)$ جایگزین کرده و نامعادله را حل میکنیم. سپس جوابهای بهدستآمده از هر بازه را با آن بازه اشتراک گرفته و در نهایت همه را با هم اجتماع میکنیم.
ارزیابی نهایی: روش جدول تعیین علامت، یک ابزار قدرتمند و ساختاریافته برای حل طیف وسیعی از نامعادلهها، از سادهترین تا پیچیدهترین آنها است. با تمرین و رعایت گامهای ذکر شده (یافتن نقاط بحرانی، مرتبسازی، بررسی علامت در یک بازه و تعمیم آن به سایر بازهها) میتوان به راحتی از عهدهی حل هر نوع نامعادلهای برآمد. کلید موفقیت در این روش، دقت در یافتن تمام نقاط بحرانی و توجه به باز یا بسته بودن بازهها در جواب نهایی است.
پاورقی
[1] نامعادله (Inequality): یک رابطهی ریاضی است که نشان میدهد مقدار یک عبارت از عبارت دیگر بزرگتر، کوچکتر، یا مخالف است. از نمادهایی مانند $\gt$، $\lt$، $\ge$ و $\le$ استفاده میکند.
[2] جدول تعیین علامت (Sign Table): جدولی که برای تعیین علامت یک عبارت جبری در بازههای مختلف محور اعداد حقیقی به کار میرود. با استفاده از نقاط بحرانی، محور را به بازههایی تقسیم کرده و علامت عبارت را در هر بازه مشخص میکند.
[3] نقطهی بحرانی (Critical Point): به مقادیری از متغیر گفته میشود که عبارت جبری در آنها صفر شود (ریشههای معادله) یا عبارت در آن نقاط تعریفنشده باشد (مانند ریشههای مخرج در کسرها). این نقاط مرز بازههای علامت را مشخص میکنند.
[4] قدر مطلق (Absolute Value): فاصلهی یک عدد حقیقی از صفر را روی محور اعداد نشان میدهد و همیشه مقداری نامنفی دارد. برای یک عدد حقیقی $x$، قدر مطلق آن با $|x|$ نمایش داده میشود.
[2] جدول تعیین علامت (Sign Table): جدولی که برای تعیین علامت یک عبارت جبری در بازههای مختلف محور اعداد حقیقی به کار میرود. با استفاده از نقاط بحرانی، محور را به بازههایی تقسیم کرده و علامت عبارت را در هر بازه مشخص میکند.
[3] نقطهی بحرانی (Critical Point): به مقادیری از متغیر گفته میشود که عبارت جبری در آنها صفر شود (ریشههای معادله) یا عبارت در آن نقاط تعریفنشده باشد (مانند ریشههای مخرج در کسرها). این نقاط مرز بازههای علامت را مشخص میکنند.
[4] قدر مطلق (Absolute Value): فاصلهی یک عدد حقیقی از صفر را روی محور اعداد نشان میدهد و همیشه مقداری نامنفی دارد. برای یک عدد حقیقی $x$، قدر مطلق آن با $|x|$ نمایش داده میشود.
