خاصیت ضرب نامساویها در عدد منفی
مفهوم اصلی: تأثیر اعداد منفی بر جهت نامساوی
برای درک این خاصیت، ابتدا باید بدانیم نامساوی1 چیست. یک نامساوی مانند x > y یعنی مقدار x روی محور اعداد، سمت راست y قرار دارد. وقتی هر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم، این ترتیب حفظ میشود. اما ضرب در یک عدد منفی، مانند نگاه کردن در آینه است. اگر دو نقطه روی محور اعداد در نظر بگیرید، با ضرب کردن در یک عدد منفی، موقعیت آنها روی محور برعکس میشود و نقطهای که سمت راست بود به چپ میآید و بالعکس. به همین دلیل، علامت نامساوی تغییر میکند.
فرض کنید A = 5 و B = 2. مشخص است که 5 > 2. اگر هر دو طرف را در یک عدد مثبت مثل 3 ضرب کنیم، خواهیم داشت 15 > 6 که همچنان درست است. اما اگر در یک عدد منفی مثل -1 ضرب کنیم، به -5 و -2 میرسیم. روی خط اعداد، -2 سمت راست -5 قرار دارد، بنابراین رابطه جدید -5 < -2 خواهد بود. این همان تغییر جهت نامساوی است.
اثبات قاعده با استفاده از خط اعداد و اصول جبر
برای اثبات این که اگر A > B و C < 0 آنگاه AC < BC، میتوانیم از تعریف ترتیب روی اعداد حقیقی استفاده کنیم. A > B یعنی A - B > 0 (تفاضل آنها عددی مثبت است). حالا میخواهیم AC - BC را بررسی کنیم:
AC - BC = C(A - B)
میدانیم A - B > 0 و C < 0. حاصل ضرب یک عدد مثبت در یک عدد منفی، عددی منفی خواهد بود. بنابراین:
C(A - B) < 0
از آنجایی که AC - BC < 0، نتیجه میگیریم AC < BC. اثبات کامل شد. این اثبات مستقل از مقادیر A و B است و نشان میدهد این خاصیت یک قانون ریاضی جهانشمول است.
کاربرد عملی: حل نامعادلات و مسائل روزمره
مهمترین کاربرد این خاصیت در حل نامعادلات2 است. وقتی یک نامعادله مانند -2x > 6 را داریم، برای به دست آوردن x باید طرفین را بر -2 تقسیم کنیم. از آنجایی که -2 عددی منفی است، علامت نامساوی برعکس میشود:
x < 6 / (-2) \implies x < -3
اگر این کار را انجام ندهیم و اشتباهاً علامت را بدون تغییر باقی بگذاریم، جواب x > -3 به دست میآید که با تست کردن یک عدد مانند 0 در نامعادله اصلی (-2*0=0 > 6) نادرستی آن مشخص میشود.
مثال علمی: در فیزیک، رابطه بین دما و فشار یک گاز ایدهآل در حجم ثابت را در نظر بگیرید P = kT. اگر رابطهای به صورت T_1 > T_2 داشته باشیم، آنگاه P_1 > P_2. اما اگر یک متغیر وابسته مانند V = -P (که میتواند یک تبدیل ریاضی باشد) تعریف کنیم، آنگاه V_1 < V_2 خواهد شد.
مقایسه رفتار نامساویها با اعداد مثبت و منفی
برای درک بهتر، جدول زیر تأثیر عملیات مختلف را بر یک نامساوی پایه نشان میدهد:
| عملیات روی A > B | مثال عددی | نتیجه | تغییر جهت |
|---|---|---|---|
| جمع با عدد مثبت (C) | 5>2, +3 | 8>5 | خیر |
| جمع با عدد منفی (C) | 5>2, -4 | 1>-2 | خیر |
| ضرب در عدد مثبت (C) | 5>2, *3 | 15>6 | خیر |
| ضرب در عدد منفی (C) | 5>2, *-1 | -5<-2 | بله |
| تقسیم بر عدد منفی (C) | 5>2, /-1 | -5<-2 | بله |
چالشهای مفهومی
پاسخ: این موضوع به خاصیت ضرب در اعداد منفی و تأثیر آن بر ترتیب اعداد بازمیگردد. ضرب در یک عدد مثبت، مقیاس اعداد را تغییر میدهد ولی جایگاه نسبی آنها را روی محور اعداد حفظ میکند. اما ضرب در یک عدد منفی، علاوه بر تغییر مقیاس، اعداد را در نقطهی صفر منعکس میکند (قرینه میکند). این بازتابش، ترتیب بزرگتر و کوچکتر را کاملاً برعکس میکند، درست مانند نگاه کردن به دنیا در یک آینه که چپ و راست جابجا میشود.
پاسخ: در این حالت نیز جهت نامساوی برعکس میشود. از A < B و C < 0 نتیجه میگیریم AC > BC. این قاعده کلی است: ضرب در عدد منفی، همواره جهت نامساوی را معکوس میکند، صرفنظر از اینکه نامساوی از نوع بزرگتر یا کوچکتر باشد.
پاسخ: خیر. اگر C = 0 باشد، دو طرف نامساوی به 0 تبدیل میشوند و رابطه 0 > 0 یا 0 < 0 نادرست است. در واقع، ضرب در صفر نامساوی را از بین میبرد و به یک تساوی میرسیم که با نامساوی اولیه قابل مقایسه نیست. به همین دلیل، قاعده تغییر جهت فقط برای اعداد غیرصفر (به طور خاص اعداد منفی) تعریف میشود.
پاورقیها
1نامساوی (Inequality): در ریاضیات، رابطهای است که نشان میدهد دو مقدار با یکدیگر برابر نیستند و یکی بزرگتر یا کوچکتر از دیگری است. نمادهای اصلی它包括 > (بزرگتر)، < (کوچکتر)، \ge (بزرگتر یا مساوی) و \le (کوچکتر یا مساوی).
2نامعادله (Inequality Equation): به یک عبارت جبری گفته میشود که در آن دو طرف تساوی با یکدیگر برابر نیستند و با یکی از نمادهای نامساوی از هم جدا میشوند. حل یک نامعادله به معنی یافتن مجموعه تمام مقادیری از متغیر است که نامساوی را برقرار میکند.
