فرم مربع کامل سهمی: نوشتن y=ax²+bx+c به صورت y=a(x−h)²+k برای مشخص شدن رأس و محور تقارن
آموزش گامبهگام کامل کردن مربع، تبدیل معادله درجه دوم به فرم رأس، و یافتن مختصات رأس و معادله محور تقارن سهمی
خلاصه: در این مقاله با روش فرم مربع کامل (Completing the Square) آشنا میشوید. این تکنیک به ما اجازه میدهد معادله درجه دوم y=ax²+bx+c را به فرم استاندارد y=a(x−h)²+k تبدیل کنیم. با این کار میتوانیم مختصات رأس سهمی (Vertex) یعنی (h,k) و معادله محور تقارن (Axis of Symmetry) یعنی x=h را به سادگی مشخص کنیم. این موضوع برای رسم نمودار، تعیین ماکزیمم یا مینیمم توابع درجه دوم، و حل بسیاری از مسائل فیزیک و مهندسی کاربرد حیاتی دارد.
۱. چرا فرم رأس؟
معادله درجه دوم به صورت گسترده y=ax²+bx+c اگرچه اطلاعاتی مانند عرض از مبدأ (c) را به ما میدهد، اما موقعیت دقیق قله یا دره نمودار (رأس) را به وضوح نشان نمیدهد. فرم رأس y=a(x−h)²+k مانند یک نقشهی گنج عمل میکند. در این فرم:
- (h,k) مختصات رأس سهمی است. اگر a>0، سهمی رو به بالا باز میشود و رأس یک مینیمم است. اگر a<0، سهمی رو به پایین باز میشود و رأس یک ماکزیمم است.
- محور تقارن خطی عمودی به معادله x=h است که سهمی را به دو بخش قرینه تقسیم میکند.
- ضریب a همان ضریب x² در فرم گسترده است و تعیین میکند که دهانه سهمی چقدر باز یا بسته باشد.
۲. روش کامل کردن مربع (گام به گام)
روش کامل کردن مربع، یک تکنیک جبری برای بازنویسی سه جملهای ax²+bx+c است. فرض کنید میخواهیم معادله y=2x²+8x+5 را به فرم رأس تبدیل کنیم. مراحل زیر را به دقت دنبال کنید:
- فاکتورگیری ضریب x² از دو جمله اول:
y = 2(x² + 4x) + 5 - کامل کردن مربع داخل پرانتز:
برای کامل کردن مربع عبارت x²+4x، عدد (4/2)² = (2)² = 4 را به آن اضافه و کم میکنیم. (اضافه و کم کردن یعنی مقدار خالص تغییری نمیکند).
y = 2[(x² + 4x + 4) - 4] + 5 - بازنویسی به صورت مربع کامل:
x²+4x+4 = (x+2)². پس داریم:
y = 2[(x+2)² - 4] + 5 - سادهسازی و توزیع ضریب:
y = 2(x+2)² - 8 + 5
y = 2(x+2)² - 3
نکته طلایی عددی که برای کامل کردن مربع به عبارت x²+bx اضافه میکنیم، همیشه (b/2)² است. آن را ابتدا اضافه و سپس کم میکنیم تا تساوی برقرار بماند.
۳. تعیین رأس و محور تقارن
پس از تبدیل معادله به فرم y=a(x−h)²+k، استخراج اطلاعات بسیار آسان است. برای مثال بالا (y=2(x+2)²−3):
- رأس: با توجه به فرمول، h=-2 و k=-3. بنابراین رأس در نقطه (-2,-3) قرار دارد. از آنجا که a=2>0 است، این رأس یک نقطه مینیمم است.
- محور تقارن: معادله محور تقارن، خط قائم x = h است، یعنی x = -2.
| ویژگی | فرم گسترده y=ax²+bx+c | فرم رأس y=a(x−h)²+k |
|---|---|---|
| موقعیت رأس | مشخص نیست و نیاز به فرمول x=-b/(2a) دارد | مشخص و واضح: (h,k) |
| محور تقارن | نیاز به محاسبه دارد | مشخص: x = h |
| جهت باز شدن | با علامت a مشخص میشود | با علامت a مشخص میشود |
| کاربرد اصلی | یافتن ریشهها (با فرمول دلتا) | رسم سریع نمودار و بهینهسازی |
۴. کاربرد عملی: پرتاب یک توپ
فرض کنید مسیر حرکت یک توپ پس از پرتاب به هوا، توسط معادله h(t) = -5t² + 20t + 2 مدلسازی شود، که h ارتفاع بر حسب متر و t زمان بر حسب ثانیه است. میخواهیم بدانیم توپ چه زمانی به بیشترین ارتفاع میرسد و آن ارتفاع چقدر است.
- تبدیل به فرم رأس:
h(t) = -5(t² - 4t) + 2
h(t) = -5[(t² - 4t + 4) - 4] + 2
h(t) = -5[(t - 2)² - 4] + 2
h(t) = -5(t - 2)² + 20 + 2
h(t) = -5(t - 2)² + 22 - تفسیر نتیجه: معادله به فرم h(t) = a(t-h)²+k با a=-5، h=2 و k=22 است. چون a<0 است، سهمی رو به پایین باز میشود و رأس یک ماکزیمم است. بنابراین:
- بیشترین ارتفاع (ماکزیمم) در t=2 ثانیه (h) رخ میدهد.
- ارتفاع ماکزیمم برابر با k=22 متر است.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: اگر بخواهیم از فرم گسترده y=ax²+bx+c مستقیماً و بدون کامل کردن مربع، مقدار h را پیدا کنیم، چه فرمولی وجود دارد؟
✅ پاسخ: مقدار h که مختص x رأس است، از رابطه h = -b/(2a) به دست میآید. برای یافتن k نیز کافیست این h را در معادله اصلی قرار دهیم.
✅ پاسخ: مقدار h که مختص x رأس است، از رابطه h = -b/(2a) به دست میآید. برای یافتن k نیز کافیست این h را در معادله اصلی قرار دهیم.
❓ چالش ۲: چرا در روش کامل کردن مربع، عدد (b/2)² را اضافه و سپس کم میکنیم؟ چرا نمیتوانیم فقط آن را اضافه کنیم؟
✅ پاسخ: اگر فقط عدد را اضافه کنیم، مقدار عبارت اصلی تغییر میکند و تساوی y=ax²+bx+c با عبارت جدید برقرار نخواهد بود. عمل «اضافه و کم کردن» یک عدد، در واقع صفر را به عبارت اضافه میکند و مقدار آن را بدون تغییر نگه میدارد، در حالی که به ما اجازه میدهد بخشی از آن را به صورت مربع کامل بنویسیم.
✅ پاسخ: اگر فقط عدد را اضافه کنیم، مقدار عبارت اصلی تغییر میکند و تساوی y=ax²+bx+c با عبارت جدید برقرار نخواهد بود. عمل «اضافه و کم کردن» یک عدد، در واقع صفر را به عبارت اضافه میکند و مقدار آن را بدون تغییر نگه میدارد، در حالی که به ما اجازه میدهد بخشی از آن را به صورت مربع کامل بنویسیم.
❓ چالش ۳: در فرم رأس y=a(x−h)²+k، اگر h مثبت باشد، نمودار نسبت به حالت استاندارد y=ax² به کدام سمت منتقل شده است؟
✅ پاسخ: دقت کنید در فرمول، (x−h) نوشته شده است. اگر h مثبت باشد (مثلاً h=3)، عبارت به صورت (x−3) خواهد بود. این بدان معناست که نقطه رأس، 3 واحد در جهت مثبت محور xها (یعنی به سمت راست) جابهجا شده است. جابهجایی برعکس علامت داخل پرانتز است.
✅ پاسخ: دقت کنید در فرمول، (x−h) نوشته شده است. اگر h مثبت باشد (مثلاً h=3)، عبارت به صورت (x−3) خواهد بود. این بدان معناست که نقطه رأس، 3 واحد در جهت مثبت محور xها (یعنی به سمت راست) جابهجا شده است. جابهجایی برعکس علامت داخل پرانتز است.
۶. فرمولهای کلیدی
در اینجا مهمترین فرمولهایی که در مقاله استفاده شد، مرور میکنیم:
- فرم گسترده:y = ax² + bx + c
- فرم رأس:y = a(x - h)² + k
- مختصات x رأس:h = -b/(2a)
- مختصات y رأس:k = a(h)² + b(h) + c
- عامل کامل کردن مربع:(b/2)²
جمعبندی نهایی: فرم مربع کامل سهمی ابزاری قدرتمند برای تحلیل توابع درجه دوم است. با تبدیل معادله به فرم y=a(x−h)²+k، گوهر پنهان نمودار یعنی رأس و محور تقارن آن را به راحتی آشکار میکنیم. این روش نه تنها در ریاضیات پایه، بلکه در فیزیک (برای تحلیل حرکت پرتابهها)، اقتصاد (برای یافتن نقطه سود بیشینه) و مهندسی کاربرد گستردهای دارد. تمرین مستمر با ضرایب مختلف، به تثبیت این مهارت مهم جبری کمک شایانی میکند.
پاورقی
- [1] رأس سهمی (Vertex): نقطه عطف نمودار سهمی است. اگر سهمی رو به بالا باز شود، این نقطه کمترین مقدار (مینیمم) و اگر رو به پایین باز شود، بیشترین مقدار (ماکزیمم) تابع است.
- [2] محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی عمودی که سهمی را به دو نیمه قرینه تقسیم میکند. این خط از رأس سهمی میگذرد و معادله آن x=h است.
- [3] کامل کردن مربع (Completing the Square): فرایندی جبری برای تبدیل یک سه جملهای درجه دوم به مجموع یک جمله مربع کامل و یک عدد ثابت.
- [4] ماکزیمم و مینیمم (Maximum & Minimum): به ترتیب بیشترین و کمترین مقدار یک تابع در یک بازه مشخص یا دامنه تابع.
