خاصیت جمع در نامساویها: چرا با افزودن یک مقدار ثابت، جهت نامساوی تغییر نمیکند؟
۱. تعریف و درک شهودی خاصیت جمع
در ریاضیات، نامساویها[1] رابطهای بین دو مقدار هستند که نشان میدهند یک مقدار از دیگری بزرگتر، کوچکتر، یا (در حالت کلی) نابرابر است. یکی از مهمترین و پرکاربردترین ویژگیهای نامساویها، خاصیت جمع است. این خاصیت بیان میکند که اگر یک نامساوی مانند A (یا A > B) داشته باشیم، با اضافه کردن یک عدد حقیقی[2] ثابت مانند C به هر دو طرف نامساوی، جهت نامساوی تغییر نخواهد کرد. به عبارت دیگر:
$A
برای درک شهودی این موضوع، یک ترازوی ساده را تصور کنید. فرض کنید در کفه سمت چپ ترازو، یک جسم به جرم $A$ و در کفه سمت راست، جسمی به جرم $B$ قرار دارد و ترازو به سمتی که $B$ سنگینتر است (یعنی $A ) متمایل شده است. حال اگر به هر دو کفه، یک وزنهٔ یکسان به جرم $C$ اضافه کنیم، آیا تعادل برقرار میشود؟ خیر. چون افزایش یکسان به هر دو طرف، اختلاف وزن را حفظ میکند و ترازو همچنان به همان سمت قبلی متمایل خواهد بود. این مثال ساده نشان میدهد که چرا اضافه کردن یک مقدار ثابت به دو طرف یک نامساوی، آن را برهم نمیزند.
۲. اثبات و کاربرد در جابجایی عبارات جبری
اثبات این خاصیت بسیار ساده و مبتنی بر اصول اولیه اعداد حقیقی است. اگر $A باشد، طبق تعریف، تفاضل $B - A$ یک عدد مثبت است. حالا عبارت $(B+C) - (A+C)$ را در نظر بگیرید. سادهسازی این عبارت به شکل زیر است:
$(B+C) - (A+C) = B+C - A - C = B - A$
از آنجایی که $B - A \gt 0$ است، نتیجه میگیریم که $(B+C) - (A+C)$ نیز مثبت است، یعنی $A+C . اثبات برای حالت بزرگتر نیز به همین ترتیب انجام میشود.
مهمترین کاربرد این خاصیت، در حل معادلات و نامعادلات است. برای مثال، فرض کنید میخواهیم نامعادله $x - 5 \lt 7$ را حل کنیم. هدف ما یافتن $x$ است. با استفاده از خاصیت جمع، میتوانیم عدد $5$ را به دو طرف نامعادله اضافه کنیم:
$x - 5 + 5 \lt 7 + 5 \implies x \lt 12$
بنابراین، مجموعه جواب همه اعداد کوچکتر از ۱۲ است. این عملیات که به "جابجایی عبارت از یک طرف نامساوی به طرف دیگر" معروف است، در واقع همان اعمال خاصیت جمع است. در گذشته این کار را با عنوان "انتقال عبارت با علامت مخالف" میآموختید.
۳. مثالهای عینی و روزمره از خاصیت جمع
فرض کنید علی۱۵۰ گرم شکلات و مریم۲۰۰ گرم شکلات دارد. بنابراین میزان شکلات علی از مریم کمتر است ($150 \lt 200$). حالا اگر به هر دوی آنها ۵۰ گرم شکلات دیگر بدهیم، علی ۲۰۰ گرم و مریم ۲۵۰ گرم خواهد داشت و هنوز هم $200 \lt 250$ برقرار است. در مثالی دیگر، سن یک پدر ۴۰ سال و سن پسرش ۱۰ سال است ($40 \gt 10$). پس از گذشت ۵ سال، سن آنها به ترتیب ۴۵ و ۱۵ خواهد بود و باز هم پدر بزرگتر است ($45 \gt 15$). همانطور که میبینید، اضافه شدن زمان (یک مقدار ثابت) به سن هر دو، ترتیب بزرگتری را حفظ میکند.
| عبارت اولیه | عبارت اضافهشونده (C) | نامساوی جدید | وضعیت |
|---|---|---|---|
| $3 \lt 7$ | ۵ | $8 \lt 12$ | برقرار |
| $10 \ge 4$ | -۳ | $7 \ge 1$ | برقرار |
| $-2 \le 0$ | ۱.۵ | $-0.5 \le 1.5$ | برقرار |
۴. کاربرد عملی: حل مسائل و مقایسه مقادیر
یکی از کاربردهای جذاب خاصیت جمع، استفاده از آن در مسائل بهینهسازی[3] ساده و مقایسه اعداد است. برای مثال، فرض کنید در یک مسابقه، امتیاز تیم الف $A$ و تیم ب $B$ است و میدانیم $A . اگر در دقیقه ۹۰، به هر دو تیم ۳ امتیاز اضافی تعلق گیرد، باز هم تیم ب برنده است. این خاصیت همچنین در اثبات نامساویهای پیچیدهتر کاربرد دارد. به عنوان یک تمرین عملی، فرض کنید میخواهیم دو عبارت $x + 5$ و $y + 5$ را با هم مقایسه کنیم، در حالی که میدانیم $x > y$. با کم کردن عدد ۵ از دو طرف (که معادل اضافه کردن $-5$ است)، نتیجه میگیریم $x > y$ که با فرض اولیه مطابقت دارد. اینجا خاصیت جمع به ما کمک کرد تا یک مقایسه پیچیده را به یک مقایسه سادهتر تبدیل کنیم.
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پرسش ۱: آیا میتوانیم از خاصیت جمع برای نامساویهایی که شامل متغیر در عبارت اضافهشونده ($C$) هستند، استفاده کنیم؟ مثلاً اگر $x باشد، آیا $x + z همواره درست است؟
پاسخ: بله، تا زمانی که $z$ یک عدد حقیقی معلوم (ثابت) باشد. اگر $z$ خود یک متغیر وابسته به $x$ یا $y$ نباشد، خاصیت جمع به قوت خود باقی است. نکته مهم این است که عبارت اضافهشونده باید برای هر دو طرف یکسان باشد.
پرسش ۲: تفاوت خاصیت جمع در نامساویها با خاصیت جمع در معادلات ($A=B \implies A+C=B+C$) چیست؟
پاسخ: در هر دو، با افزودن یک عبارت ثابت به طرفین، رابطه (برابری یا نامساوی) حفظ میشود. تفاوت اصلی در این است که در معادلات، هدف حفظ تساوی است، اما در نامساویها، هدف حفظ جهت (بزرگتری یا کوچکتری) است. هر دو خاصیت از اصول بدیهی اعداد حقیقی نشات میگیرند و برای حل مسائل بسیار اساسی هستند.
پرسش ۳: آیا خاصیت جمع برای نامساویهای زنجیرهای مانند $a نیز صادق است؟
پاسخ: کاملاً. اگر به تمام بخشهای یک نامساوی زنجیرهای، یک مقدار ثابت اضافه کنیم، زنجیره همچنان برقرار خواهد بود. مثلاً با اضافه کردن $k$ به $a ، خواهیم داشت: $a+k . این ویژگی در مسائل مربوط به بازهها و تخمینها بسیار مفید است.
در یک نگاه
خاصیت جمع در نامساویها یک ابزار قدرتمند و شهودی است که به ما اجازه میدهد بدون نگرانی از تغییر جهت نامساوی، عبارات ثابت را به طرفین آن اضافه یا از آن کم کنیم. این خاصیت نهتنها در حل معادلات و نامعادلات جبری، بلکه در تحلیل موقعیتهای واقعی زندگی که با مقایسه مقادیر سروکار داریم، نقش اساسی ایفا میکند. درک درست این مفهوم، پایهای محکم برای یادگیری مباحث پیشرفتهتر مانند نامساویهای خطی و برنامهریزی خطی خواهد بود.
پاورقی
[1] نامساوی (Inequality): در ریاضیات، رابطهای که بیانگر بزرگتر، کوچکتر یا نابرابر بودن دو مقدار است.
[2] عدد حقیقی (Real Number): مجموعه اعداد گویا و گنگ که قابل نمایش روی محور اعداد هستند.
[3] بهینهسازی (Optimization): فرآیند یافتن بهترین جواب ممکن برای یک مسئله با در نظر گرفتن محدودیتها.
