ریشه مضاعف: مفهومی کلیدی در معادلات درجه دوم
۱. تعریف ریشه مضاعف و ارتباط آن با ممیز (دلتا)
معادله درجه دوم به فرم کلی $ax^2 + bx + c = 0$ (که در آن $a \neq 0$)، بسته به مقدار ممیز یا دلتا ($\Delta$) میتواند دارای دو ریشه حقیقی متفاوت، یک ریشه حقیقی (یا دو ریشه برابر) و یا دو ریشه مختلط باشد. ممیز به صورت $\Delta = b^2 - 4ac$ محاسبه میشود.
حالت ریشه مضاعف (Double Root) زمانی رخ میدهد که مقدار ممیز دقیقاً برابر صفر باشد ($\Delta = 0$). در این وضعیت، معادله دو ریشه حقیقی دارد که کاملاً با هم برابر هستند؛ یعنی $x_1 = x_2$. به این ریشه، «ریشه مضاعف» یا «ریشه تکراری» میگویند. فرمول محاسبه این ریشه از رابطه $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ و با قرار دادن $\Delta = 0$ به صورت سادهتر $x = -\frac{b}{2a}$ در میآید.
۲. تعبیر هندسی: نقطه تماس سهمی با محور $x$ها
نمودار معادله درجه دوم $y = ax^2 + bx + c$ یک سهمی است. ریشههای معادله، نقاط برخورد این سهمی با محور $x$ها (محور افقی) هستند.
- اگر $\Delta \gt 0$، سهمی محور $x$ها را در دو نقطه مجزا قطع میکند.
- اگر $\Delta \lt 0$، سهمی محور $x$ها را قطع نمیکند (هیچ ریشه حقیقی ندارد).
- اگر $\Delta = 0$، سهمی محور $x$ها را در یک نقطه لمس میکند. در این حالت، رأس سهمی دقیقاً روی محور $x$ها قرار دارد و این نقطه، همان ریشه مضاعف است. به عبارت دیگر، محور $x$ها بر سهمی مماس میشود.
برای مثال، معادله $y = x^2 - 4x + 4$ را در نظر بگیرید. با محاسبه ممیز: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. ریشه مضاعف آن $x = -\frac{-4}{2 \times 1} = 2$ است. نمودار این سهمی، محور $x$ها را در نقطه $(2, 0)$ لمس میکند و این نقطه، رأس سهمی نیز هست.
۳. مثالهای کاربردی و گامبهگام از ریشه مضاعف
مثال ۱: مقادیر $k$ را بیابید بهطوری که معادله $x^2 - 6x + k = 0$ دارای ریشه مضاعف باشد. سپس آن ریشه را محاسبه کنید.
حل: شرط ریشه مضاعف $\Delta = 0$ است. در این معادله $a=1$، $b=-6$، $c=k$. بنابراین:
$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k$
با برابر قرار دادن با صفر: $36 - 4k = 0 \implies 4k = 36 \implies k = 9$. حال ریشه مضاعف را حساب میکنیم:
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3$
بنابراین برای $k=9$، معادله ریشه مضاعف $3$ خواهد داشت.
مثال ۲: معادله $2x^2 + 4x + m = 0$ را در نظر بگیرید. اگر این معادله دارای ریشه مضاعف باشد، مقدار $m$ چقدر است و ریشه آن کدام است؟
حل: در اینجا $a=2$، $b=4$، $c=m$. ممیز را صفر قرار میدهیم:
$\Delta = (4)^2 - 4(2)(m) = 16 - 8m = 0 \implies 8m = 16 \implies m = 2$
ریشه مضاعف از رابطه $x = -\frac{b}{2a}$ بهدست میآید:
$x = -\frac{4}{2 \times 2} = -\frac{4}{4} = -1$
پس با $m=2$، ریشه مضاعف $-1$ است.
۴. کاربردهای عملی ریشه مضاعف در مسائل
مفهوم ریشه مضاعف تنها محدود به کلاس ریاضی نیست. در فیزیک، وقتی معادله حرکت جسمی به صورت درجه دوم باشد، شرط $\Delta = 0$ میتواند نشاندهنده حالت مرزی یا خاصی باشد. برای مثال، در مسائل مربوط به پرتاب گلوله1، ممکن است شرایطی پیش آید که جسم فقط در یک لحظه در ارتفاع معینی قرار گیرد. همچنین در طراحی سازهها و بهینهسازی، گاهی نقاط بحرانی توابع درجه دوم که ریشه مضاعف هستند، بیانگر بیشینه یا کمینه بودن مقدار تابع در آن نقطهاند.
مثال روایت کوتاه: فرض کنید یک شرکت، سود خود را بر اساس تعداد محصول تولیدی $x$ با تابع $S(x) = -x^2 + 60x - 900$ پیشبینی کند. میخواهیم بدانیم در چه تولیدی، سود صفر میشود؟ کافی است معادله $S(x)=0$ را حل کنیم. ممیز این معادله $\Delta = 60^2 - 4(-1)(-900) = 3600 - 3600 = 0$ است. بنابراین ریشه مضاعف داریم: $x = -\frac{60}{2 \times (-1)} = 30$. یعنی تنها در تولید $30$ واحد، سود شرکت صفر میشود و برای هر مقدار دیگر، سود منفی است (چون $a \lt 0$).
۵. چالشهای مفهومی پیرامون ریشه مضاعف
پاسخ: از نظر ارزش عددی، خیر، اما از نظر جبری، خیر. معادله درجه دوم همیشه دو ریشه دارد (در مجموعه اعداد مختلط). وقتی $\Delta=0$، این دو ریشه با هم برابر هستند. به همین دلیل به آن «مضاعف» میگویند. اگر بخواهیم معادله را به صورت تجزیهشده بنویسیم، به فرم $a(x-x_1)^2=0$ در میآید که توان $2$ نشاندهنده تکرار ریشه است.
پاسخ: در حالت ممیز منفی ($\Delta \lt 0$)، معادله دو ریشه حقیقی ندارد، بلکه دو ریشه مختلط دارد که هیچکدام بر روی محور اعداد حقیقی نیستند. اما در ریشه مضاعف، دو ریشه حقیقی و برابر داریم که قابل نمایش روی محور اعداد هستند. از نظر نمودار، در حالت اول سهمی محور $x$ها را قطع نمیکند، در حالی که در حالت دوم آن را لمس میکند.
پاسخ: دقیقاً. فرم مربع کامل یک معادله درجه دوم، مانند $a(x - h)^2 + k = 0$ است. این معادله فقط زمانی ریشه مضاعف دارد که $k = 0$ باشد. در این حالت معادله به $a(x-h)^2 = 0$ تبدیل میشود و ریشه مضاعف $x = h$ خواهد بود. پس صرف مربع کامل بودن به معنای ریشه مضاعف نیست، بلکه باید ثابت جمله مستقل صفر باشد.
۶. جدول مقایسه حالات مختلف معادله درجه دوم
| مقدار ممیز ($\Delta$) | نوع ریشهها | تعبیر هندسی (برخورد با محور $x$ها) | مثال |
|---|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | دو ریشه حقیقی متفاوت | سهمی محور $x$ها را در دو نقطه قطع میکند | $x^2-5x+6=0$ |
| $\Delta = 0$ | یک ریشه حقیقی (مضاعف) | سهمی محور $x$ها را لمس میکند (مماس) | $x^2-4x+4=0$ |
| $\Delta \lt 0$ | دو ریشه مختلط (غیرحقیقی) | سهمی محور $x$ها را قطع نمیکند | $x^2+x+1=0$ |
پاورقیها
1پرتاب گلوله (Projectile Motion): در فیزیک، به حرکت یک جسم تحت تأثیر نیروی گرانش گفته میشود که مسیر آن معمولاً به صورت یک سهمی است.
2ممیز (Discriminant): در جبر، عبارتی است که در مورد معادله درجه دوم ($ax^2+bx+c=0$) به صورت $\Delta = b^2 - 4ac$ تعریف میشود و ماهیت ریشهها را مشخص میکند.
3سهمی (Parabola): منحنی حاصل از رسم تابع درجه دوم که شکلی متقارن دارد و دارای یک نقطه ماکزیمم یا مینیمم به نام رأس است.
