ریشههای متمایز: شرط دو جواب حقیقی متفاوت در معادله درجه دوم
تشخیصدهنده (دلتا) Δ و نقش آن در تعیین ماهیت ریشهها
معادله درجه دوم به شکل استاندارد $ax^2 + bx + c = 0$ (که در آن $a \neq 0$)، پرکاربردترین نوع معادله در ریاضیات دبیرستان است. برای یافتن جوابهای این معادله از فرمول کلی زیر استفاده میکنیم:
عبارت زیر رادیکال، یعنی $\Delta = b^2 - 4ac$، تشخیصدهنده1 نام دارد. دلیل این نامگذاری آن است که این عبارت به تنهایی میتواند «تشخیص» دهد که معادله ما چند جواب حقیقی دارد و آیا این جوابها با هم برابرند یا متفاوت. حالتهای سهگانه برای دلتا به شرح زیر است:
| مقدار تشخیصدهنده (Δ) | نوع ریشهها (در مجموعه اعداد حقیقی) | تفسیر هندسی (برخورد با محور x) |
|---|---|---|
| Δ > 0 | دو ریشه حقیقی متفاوت ($x_1 \neq x_2$) | نمودار سهمی، محور x را در دو نقطه قطع میکند. |
| Δ = 0 | یک ریشه حقیقی (دو ریشه برابر یا مضاعف) ($x_1 = x_2$) | نمودار سهمی بر محور x مماس میشود (یک نقطه برخورد). |
| Δ | ریشه حقیقی نداریم (دو ریشه مختلط2) | نمودار سهمی، محور x را قطع نمیکند. |
همانطور که مشاهده میکنید، شرط لازم و کافی برای آنکه یک معادله درجه دوم دارای دو ریشه حقیقی متمایز باشد، مثبت بودن تشخیصدهنده (Δ > 0) است. این شرط، پایه و اساس بسیاری از مسائل ریاضی و فیزیک است.
بررسی گامبهگام مثالهای عددی و تعیین علامت دلتا
برای درک بهتر، چند معادله درجه دوم را با ضرایب مختلف بررسی میکنیم و با محاسبه Δ، نوع ریشههای آنها را پیشبینی میکنیم. سپس با حل کامل معادله، صحت این پیشبینی را تأیید مینماییم.
- مرحله ۱ – تشخیص ضرایب:$a = 2$، $b = -5$، $c = 2$.
- مرحله ۲ – محاسبه دلتا:$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9$.
- مرحله ۳ – بررسی علامت: از آنجا که $9 \gt 0$ است، نتیجه میگیریم معادله دارای دو ریشه حقیقی متفاوت است.
- مرحله ۴ – حل معادله (تأیید):$x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$ ⇒ $x_1 = 2$ و $x_2 = 0.5$. این دو ریشه کاملاً متمایز هستند.
- ضرایب:$a=1$، $b=-4$، $c=4$.
- دلتا:$\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$.
- نتیجه: دلتا برابر صفر است، بنابراین معادله دارای یک ریشه حقیقی (مضاعف) است: $x = \frac{4}{2} = 2$.
- ضرایب:$a=3$، $b=1$، $c=2$.
- دلتا:$\Delta = (1)^2 - 4(3)(2) = 1 - 24 = -23$.
- نتیجه: چون دلتا منفی است، معادله در مجموعه اعداد حقیقی ریشه ندارد و دو جواب مختلط خواهد داشت.
کاربرد عملی: از فیزیک تا طراحی مسئله
ریشههای متمایز یک معادله درجه دوم صرفاً یک مفهوم انتزاعی نیستند، بلکه در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارند. به عنوان مثال، در علم فیزیک، معادله حرکت برای پرتابهها تحت شتاب ثابت جاذبه، یک معادله درجه دوم است. جوابهای این معادله (زمانهای برخورد با زمین) اگر متمایز و حقیقی باشند، به این معناست که جسم دو بار از یک ارتفاع مشخص عبور میکند (یک بار در مسیر رفت و یک بار در مسیر برگشت).
فرض کنید گلولهای را به سمت بالا پرتاب میکنیم و معادله مکان آن بر حسب زمان به صورت $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ باشد (ارتفاع بر حسب متر و زمان بر حسب ثانیه). برای یافتن زمانهایی که گلوله در ارتفاع $h=10$ متر قرار دارد، معادله $-5t^2 + 20t + 1 = 10$ یا $-5t^2 + 20t -9 = 0$ را حل میکنیم. با محاسبه دلتا: $\Delta = (20)^2 - 4(-5)(-9) = 400 - 180 = 220 \gt 0$. از آنجا که دلتا مثبت است، دو زمان متفاوت برای رسیدن به این ارتفاع خواهیم داشت که نشاندهنده عبور گلوله از ارتفاع $10$ متر در دو نوبت (هنگام صعود و هنگام سقوط) است.
همچنین در طراحی سوالات ریاضی، برای آنکه یک معادله درجه دوم دو ریشه متمایز داشته باشد، اغلب بازهای از مقادیر برای پارامتر مجهول به دست میآوریم. به عنوان نمونه: «مقدار $k$ را بهگونهای بیابید که معادله $kx^2 - 4x + 1 = 0$ دارای دو ریشه حقیقی متفاوت باشد.» شرط Δ > 0 برای این معادله به صورت $(-4)^2 - 4(k)(1) \gt 0$ یا $16 - 4k \gt 0$ است که نتیجه میدهد $k \lt 4$. اما باید توجه داشت که اگر $k=0$ باشد، معادله از درجه دوم خارج میشود، پس شرط نهایی $k \lt 4$ و $k \neq 0$ خواهد بود.
چالشهای مفهومی
❓ آیا ممکن است یک معادله درجه دو، دو ریشه حقیقی متمایز داشته باشد، اما مجموع آنها صفر باشد؟
بله، کاملاً ممکن است. طبق فرمولهای سومیوس3، مجموع ریشهها برابر $-\frac{b}{a}$ است. برای اینکه این مجموع صفر شود، باید $b=0$ باشد. در این صورت معادله به شکل $ax^2 + c = 0$ درمیآید و ریشههای آن $x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$ هستند. این ریشهها اگر $-\frac{c}{a} \gt 0$ باشد، دو عدد حقیقی قرینه و متمایز خواهند بود. مثال: $x^2 - 4 = 0$ با ریشههای $2$ و $-2$.
❓ تفاوت «دو ریشه متمایز» با «ریشه مضاعف» در نمودار چگونه دیده میشود؟
در حالت دو ریشه متمایز، سهمی محور x را در دو نقطه قطع میکند. در حالی که در حالت ریشه مضاعف، سهمی تنها در یک نقطه محور x را لمس میکند (مماس بر محور است) و از آن عبور نمیکند. در واقع، در ریشه مضاعف، نمودار در نقطه برخورد، دوران میکند و به سمت بالا یا پایین برمیگردد.
❓ آیا ممکن است Δ > 0 باشد اما ریشهها گنگ4 (اصم) باشند؟
بله. علامت دلتا فقط درمورد حقیقی یا غیرحقیقی بودن و متمایز بودن ریشهها به ما اطلاعات میدهد، اما درمورد گویا یا گنگ بودن آنها صحبت نمیکند. اگر دلتا مثبت باشد اما مربع کامل نباشد (یعنی $\sqrt{\Delta}$ یک عدد گنگ باشد)، آنگاه ریشهها دو عدد حقیقی گنگ و متمایز خواهند بود. برای مثال، معادله $x^2 - 2 = 0$ با $\Delta = 8$ دارای ریشههای $\pm\sqrt{2}$ است که گنگ و متمایز هستند.
پاورقیها
1تشخیصدهنده (Discriminant): در ریاضیات، به عبارتی که ماهیت ریشههای یک چندجملهای را مشخص میکند، تشخیصدهنده میگویند. برای چندجملهای درجه دوم $ax^2+bx+c$، این عبارت $b^2-4ac$ است.
2مختلط (Complex): اعداد مختلط به شکل $a+bi$ هستند که در آن $i = \sqrt{-1}$ است. زمانی که دلتا منفی باشد، ریشههای معادله درجه دوم دو عدد مختلط هستند که بخش موهومی آنها صفر نیست.
3فرمولهای سومیوس (Sum and Product of Roots): روابط بین ریشهها و ضرایب در معادله درجه دوم: اگر $x_1$ و $x_2$ ریشههای معادله $ax^2+bx+c=0$ باشند، آنگاه $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ و $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$.
4گنگ (Irrational): به عددی حقیقی گفته میشود که نتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح نوشت. این اعداد دارای اعشار نا متناوب و نامتناهی هستند، مانند $\sqrt{2}$ یا $\pi$.
