طول از مبدأ: ریشههای معادله درجه دوم و نقطه برخورد با محور x
آشنایی با مفهوم طول از مبدأ (ریشهها)، روشهای محاسبه و کاربرد آن در حل مسائل دنیای واقعی
در این مقاله با یکی از مفاهیم پایهای و کلیدی در ریاضیات دبیرستان، یعنی «طول از مبدأ» یا همان ریشههای معادله درجه دوم آشنا میشوید. با زبانی ساده و همراه با مثالهای گوناگون، یاد میگیرید که چگونه نقاط برخورد نمودار سهمی با محور xها را پیدا کنید. روشهای مختلف حل معادله درجه دو از جمله روش دلتا[۱]، روش تجزیه و روش مربع کامل به صورت گامبهگام توضیح داده شده است. همچنین با بررسی حالتهای مختلف دلتا و چالشهای رایج، درک عمیقتری از این مبحث پیدا خواهید کرد.
۱. تعریف طول از مبدأ و ارتباط آن با نمودار سهمی
نمودار یک تابع درجه دوم به صورت $f(x)=ax^2+bx+c$، منحنیای است به نام «سهمی»[۲] . نقاطی که این منحنی محور xها را قطع میکند، «طول از مبدأ» یا «ریشههای معادله» نامیده میشوند. در این نقاط، مقدار y برابر صفر است؛ به عبارت دیگر، ما به دنبال مقادیری از x میگردیم که در معادله $ax^2+bx+c=0$ صدق کنند . یک سهمی بسته به مقدار $\Delta$ (دلتا) میتواند:- دو نقطه محور x را قطع کند (دو ریشه حقیقی متفاوت)،
- یک نقطه (رأس سهمی) بر روی محور x مماس شود (یک ریشه مضاعف)،
- اصلاً محور x را قطع نکند (بدون ریشه حقیقی) .
۲. روشهای محاسبه ریشهها (طول از مبدأ)
برای یافتن طول از مبدأ یا همان ریشههای معادله درجه دوم $ax^2+bx+c=0$، روشهای مختلفی وجود دارد. در اینجا به سه روش اصلی و پرکاربرد اشاره میکنیم .روش اول: فرمول عمومی حل معادله درجه دوم (روش دلتا)
این یک روش کلی و همیشهکاربردی است. مراحل آن به شرح زیر است:- محاسبه دلتا ($\Delta$) :$\Delta = b^2 - 4ac$
- بررسی علامت دلتا: با توجه به علامت $\Delta$، تعداد ریشهها مشخص میشود.
- استفاده از فرمول ریشهها:$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
| علامت $\Delta$ | تعداد ریشههای حقیقی | مفهوم هندسی (برخورد با محور x) |
|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | دو ریشه متمایز | سهمی محور x را در دو نقطه قطع میکند. |
| $\Delta = 0$ | یک ریشه (مضاعف) | سهمی بر محور x مماس است (رأس روی محور). |
| $\Delta \lt 0$ | بدون ریشه حقیقی | سهمی محور x را قطع یا لمس نمیکند. |
مثال: معادله $x^2 - 5x + 6 = 0$ را در نظر بگیرید. در اینجا $a=1$، $b=-5$ و $c=6$ است. ابتدا دلتا را محاسبه میکنیم: $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. چون $\Delta \gt 0$، دو ریشه داریم: $x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$. بنابراین طول از مبدأها نقاط $x_1=3$ و $x_2=2$ هستند .
روش دوم: روش تجزیه (فاکتورگیری)
اگر بتوانیم عبارت $ax^2+bx+c$ را به صورت حاصلضرب دو عبارت جبری بنویسیم، ریشهها به سادگی به دست میآیند .
مثال: معادله $x^2 - 5x + 6 = 0$ را میتوان به صورت $(x-2)(x-3)=0$ نوشت. حال از قانون «اگر حاصلضرب دو عبارت صفر شود، حداقل یکی از آنها صفر است» استفاده میکنیم: $x-2=0 \Rightarrow x=2$ و $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
روش سوم: روش مربع کامل
در این روش، معادله را به گونهای بازنویسی میکنیم که یک طرف آن یک عبارت مربع کامل باشد. سپس با ریشهگیری از دو طرف، معادله حل میشود .
مثال: معادله $x^2 - 4x = 5$. برای مربع کامل کردن، عدد $(\frac{-4}{2})^2 = 4$ را به دو طرف اضافه میکنیم: $x^2 - 4x + 4 = 5 + 4 \Rightarrow (x-2)^2 = 9$. با ریشهگیری: $x-2 = \pm 3$ که در نتیجه $x=5$ و $x=-1$ به دست میآید.
۳. کاربرد عملی: از مسئله تا جواب
فرض کنید یک شرکت سازنده موشکهای آتشبازی، مسیر حرکت یک موشک را با معادله $h(t) = -5t^2 + 20t$ مدلسازی کرده است، که در آن $h$ ارتفاع بر حسب متر و $t$ زمان بر حسب ثانیه است. میخواهیم بدانیم موشک پس از چند ثانیه به زمین برخورد میکند؟ زمین برخورد هنگامی است که ارتفاع صفر شود ($h(t)=0$). بنابراین معادله $-5t^2 + 20t = 0$ را حل میکنیم. با فاکتورگیری از $-5t$ داریم: $-5t(t - 4)=0$. ریشههای این معادله $t=0$ (زمان پرتاب) و $t=4$ (زمان برخورد) است. بنابراین پاسخ مسئله ۴ ثانیه است.۴. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چرا یک معادله درجه دو میتواند دو جواب داشته باشد؟
زیرا نمودار آن (سهمی) یک منحنی متقارن است و میتواند محور xها را در دو نقطه قطع کند. به لحاظ جبری نیز، هنگام استفاده از فرمول حل، علامت $\pm$ دو جواب متفاوت را به ما میدهد. این دو نقطه با هم و با رأس سهمی رابطه دارند .
زیرا نمودار آن (سهمی) یک منحنی متقارن است و میتواند محور xها را در دو نقطه قطع کند. به لحاظ جبری نیز، هنگام استفاده از فرمول حل، علامت $\pm$ دو جواب متفاوت را به ما میدهد. این دو نقطه با هم و با رأس سهمی رابطه دارند .
❓ منظور از «ریشه مضاعف» چیست و چگونه میتوان آن را تشخیص داد؟
ریشه مضاعف حالتی است که دو ریشه معادله با هم برابر باشند. از نظر هندسی، در این حالت رأس سهمی دقیقاً روی محور xها قرار میگیرد و سهمی مماس بر محور است. از نظر جبری، وقتی $\Delta = 0$ باشد، ریشه مضاعف داریم .
ریشه مضاعف حالتی است که دو ریشه معادله با هم برابر باشند. از نظر هندسی، در این حالت رأس سهمی دقیقاً روی محور xها قرار میگیرد و سهمی مماس بر محور است. از نظر جبری، وقتی $\Delta = 0$ باشد، ریشه مضاعف داریم .
❓ اگر دلتای یک معادله منفی شود، آیا به این معنی است که معادله اصلاً جواب ندارد؟
در مجموعه اعداد حقیقی، خیر، جوابی ندارد. اما اگر دامنه اعداد را به اعداد مختلط[۳] گسترش دهیم، میتوانیم برای آن جوابهای مختلط پیدا کنیم. در سطح دبیرستان، معمولاً میگوییم معادله «بدون ریشه حقیقی» است و نمودار آن محور xها را قطع نمیکند .
در مجموعه اعداد حقیقی، خیر، جوابی ندارد. اما اگر دامنه اعداد را به اعداد مختلط[۳] گسترش دهیم، میتوانیم برای آن جوابهای مختلط پیدا کنیم. در سطح دبیرستان، معمولاً میگوییم معادله «بدون ریشه حقیقی» است و نمودار آن محور xها را قطع نمیکند .
نکته پایانی: طول از مبدأها یا ریشههای معادله درجه دوم، کلید حل بسیاری از مسائل علمی و مهندسی هستند. از پیشبینی مسیر حرکت پرتابهها گرفته تا طراحی سازههای سهموی شکل در آنتنهای مخابراتی، همگی بر پایه یافتن نقاطی استوارند که یک تابع درجه دوم به صفر میرسد. درک صحیح این مفهوم، پایهای محکم برای یادگیری مباحث پیشرفتهتر ریاضی خواهد بود .
پاورقی
[۱]دلتا (Delta) : یک کمیت در ریاضیات است که برای تعیین ماهیت ریشههای معادله درجه دوم به کار میرود و با نماد $\Delta$ نمایش داده میشود.
[۲]سهمی (Parabola) : منحنی حاصل از رسم نمودار توابع درجه دوم که به شکل U است و دارای یک رأس و یک محور تقارن میباشد .
[۳]اعداد مختلط (Complex Numbers) : اعدادی به شکل $a+bi$ که $i$ همان واحد موهومی ($i^2=-1$) است و برای بیان جواب معادلاتی با دلتای منفی به کار میروند .
[۲]سهمی (Parabola) : منحنی حاصل از رسم نمودار توابع درجه دوم که به شکل U است و دارای یک رأس و یک محور تقارن میباشد .
[۳]اعداد مختلط (Complex Numbers) : اعدادی به شکل $a+bi$ که $i$ همان واحد موهومی ($i^2=-1$) است و برای بیان جواب معادلاتی با دلتای منفی به کار میروند .
