بیشینه سهمی: قلهٔ توابع درجه دوم
۱. معمای قله: چرا سهمی واژگون اوج میگیرد؟
تابع درجه دوم به شکل کلی $y = ax^{2}+bx+c$ که در آن $a \neq 0$ است، همیشه یک نمودار سهمی[۱] ایجاد میکند. جهت بازشدن سهمی کاملاً به علامت ضریب $a$ بستگی دارد. اگر $a \gt 0$، سهمی رو به بالا باز شده و دارای یک کمینه (Minimum) است. اما در این مقاله، تمرکز ما روی حالت $a \lt 0$ است. در این وضعیت، سهمی همچون تپهای واژگون (یا به قولی «مقعر» به سمت پایین) است و به جای یک دره، یک بیشینه (Maximum) دارد.
این نقطهٔ بیشینه، همان «رأس سهمی» (Vertex) نام دارد. در این نقطه، تابع به بالاترین مقدار خود میرسد و سپس در دو طرف، مقدار تابع کاهش مییابد. به بیان ساده، اگر در حال دوچرخهسواری در مسیری سهمیشکل باشید، نقطهٔ بیشینه همان قلهای است که پس از رسیدن به آن، مسیرتان به سمت پایین شیب پیدا میکند.
۲. رمزگشایی از مختصات قله: فرمولهای طلایی
برای یافتن مختصات دقیق نقطهٔ بیشینه (رأس) در توابع درجه دوم با $a \lt 0$، دو روش اصلی وجود دارد که هر دو به یک نتیجه منجر میشوند. مختصات رأس به صورت $(h,k)$ نمایش داده میشود که در آن $h$ مختص $x$ و $k$ مختص $y$ (همان بیشینهٔ تابع) است.
- فرمول مختص x رأس$h = -\frac{b}{2a}$
این فرمول از مشتقگیری یا تکمیل مربع به دست میآید. دقت کنید که چون $a \lt 0$ است، علامت $h$ میتواند بسته به علامت $b$ مثبت یا منفی باشد. - فرمول مختص y رأس (بیشینه)$k = y(h) = a h^{2} + b h + c$
برای محاسبهٔ مقدار بیشینه، کافیست $h$ را در تابع اصلی جایگذاری کنیم. یک فرمول جایگزین نیز وجود دارد: $k = \frac{4ac - b^{2}}{4a}$.
مثال عینی: فرض کنید تابع $y = -2x^{2} + 4x + 1$ را داریم. در اینجا $a = -2$، $b = 4$ و $c = 1$. مختصات رأس به این ترتیب محاسبه میشود:
$h = -\frac{4}{2(-2)} = -\frac{4}{-4} = 1$
$k = -2(1)^{2} + 4(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$
بنابراین، نقطهٔ بیشینه این سهمی در $(1, 3)$ قرار دارد و بیشترین مقدار تابع برابر $3$ است.
۳. از نظریه تا عمل: کاربرد بیشینه سهمی در علوم و زندگی
مفهوم بیشینه سهمی صرفاً یک تمرین ریاضی نیست و در شاخههای گوناگون علم و صنعت کاربردهای فراوانی دارد. در ادامه به چند نمونهٔ کلیدی اشاره میکنیم.
| حوزهٔ کاربرد | شرح مسئله | نقش بیشینه سهمی |
|---|---|---|
| فیزیک (پرتابهها) | معادلهٔ مسیر حرکت یک توپ یا موشک | محاسبهٔ حداکثر ارتفاع و نقطهٔ اوج مسیر |
| اقتصاد (تحلیل سود) | تابع سود یک شرکت بر حسب تعداد محصول | یافتن تولید بهینه برای کسب بیشترین سود |
| مهندسی (طراحی پلها) | شکل کمانی پلها تحت نیروی وزن | تعیین نقطهٔ اوج قوس برای توزیع یکنواخت تنش |
برای مثال، اگر تابع سود یک شرکت به صورت $P(x) = -5x^{2} + 100x - 200$ باشد (که در آن $x$ تعداد محصولات تولید شده است)، مقدار $x$ای که سود را بیشینه میکند برابر است با $h = -\frac{100}{2(-5)} = 10$. یعنی با تولید $10$ واحد محصول، سود شرکت به حداکثر میرسد.
۴. چالشهای مفهومی: پرسش و پاسخ
❓ اگر $a \lt 0$ باشد، اما رأس در ناحیهٔ $x$های منفی قرار گیرد، آیا تابع باز هم بیشینه دارد؟
✅ بله. موقعیت رأس روی محور $x$ها (مثبت یا منفی بودن $h$) تأثیری در وجود بیشینه ندارد. تابع در هر صورت یک نقطهٔ اوج دارد. اگر $h$ منفی باشد، به این معنی است که قلهٔ سهمی در سمت چپ محور $y$ها قرار گرفته است، اما همچنان بلندترین نقطهٔ نمودار محسوب میشود.
❓ تفاوت بین «بیشینه مطلق» و «بیشینه نسبی» در سهمی با $a \lt 0$ چیست؟
✅ در یک سهمی با $a \lt 0$، نقطهٔ رأس هم بیشینه نسبی (بیشینه در یک همسایگی) و هم بیشینه مطلق (بیشترین مقدار در کل دامنهٔ تابع) محسوب میشود، زیرا دامنهٔ تابع تمام اعداد حقیقی است و مقدار تابع در رأس از همهٔ مقادیر دیگر بیشتر است.
❓ آیا میتوان بدون استفاده از فرمول، و فقط با نگاه به معادله، فهمید که سهمی بیشینه دارد؟
✅ بله. کافیست به ضریب $a$ نگاه کنید. اگر $a$ منفی بود (مثلاً $y = -3x^{2}+...$)، بلافاصله میتوان نتیجه گرفت که سهمی به سمت پایین باز میشود و بنابراین دارای یک نقطهٔ بیشینه است. علامت $b$ و $c$ در این تشخیص نقشی ندارند.
پاورقیها
۱سهمی (Parabola): منحنیای است که در صفحه مختصات توسط تابع درجه دوم ایجاد میشود. این منحنی دارای یک محور تقارن و یک نقطهٔ رأس است.
۲بهینهسازی (Optimization): فرایند یافتن بهترین مقدار (بیشترین یا کمترین) یک تابع با توجه به شرایط و محدودیتهای مشخص. در ریاضیات و مهندسی کاربرد گستردهای دارد.
