کمینه سهمی: پایینترین نقطه سهمی در حالتی که a>0 باشد
۱. معمای سهمی: چرا بعضیها یک نقطهی لبخند دارند؟
سهمی (Parabola) یکی از اشکال پایهای در ریاضیات است که با معادلهای به شکل $y = ax^2 + bx + c$ توصیف میشود. راز اصلی شکل سهمی در ضریب $a$ نهفته است. اگر $a \gt 0$ باشد، سهمی مانند لبخندی رو به بالا است. در این حالت، سهمی یک نقطه به عنوان پایینترین نقطه (Minimum Point) دارد که به آن رأس سهمی (Vertex) نیز میگویند. این نقطه جایی است که سهمی از نزولی بودن باز میایستد و شروع به صعود میکند. تصور کنید توپی را از یک دره به سمت بالا پرتاب کنید؛ پایینترین نقطۀ مسیر توپ، همان نقطۀ کمینۀ سهمی است.
۲. فرمول جادویی: پیدا کردن مختصات پایینترین نقطه
برای یافتن مختصات دقیق کمینه سهمی $y = ax^2 + bx + c$ (با شرط $a \gt 0$)، از فرمول رأس استفاده میکنیم. مختصات $x$ رأس از رابطهی $x_v = -\frac{b}{2a}$ بهدست میآید. این مقدار، همان نقطۀ روی محور $x$هاست که سهمی در آن تغییر جهت میدهد. برای یافتن مختصات $y$ کمینه (یعنی همان $y_v$)، کافی است $x_v$ را در معادله اصلی جایگذاری کنیم: $y_v = a(x_v)^2 + b(x_v) + c$.
مثال عینی: فرض کنید در حال طراحی یک پل هستید و مسیر کابلهای اصلی آن به شکل سهمی $y = 2x^2 - 8x + 6$ است. میخواهید پایینترین نقطۀ کابل را پیدا کنید تا ارتفاع پایهها را تنظیم کنید. اینجا $a=2$ (مثبت است، پس کمینه داریم)، $b=-8$ و $c=6$. ابتدا $x_v$ را حساب میکنیم: $x_v = -\frac{(-8)}{2 \times 2} = \frac{8}{4} = 2$. سپس مقدار $y_v$: $y_v = 2(2)^2 - 8(2) + 6 = 2(4) -16 + 6 = 8 - 16 + 6 = -2$. بنابراین، پایینترین نقطۀ کابل در مختصات $(2, -2)$ قرار دارد. یعنی در فاصله $2$ واحدی از ابتدای پل، کابل $2$ واحد پایینتر از سطح افق قرار میگیرد.
۳. کاربرد عملی: بهینهسازی در کسبوکار با کمینه سهمی
یکی از جذابترین کاربردهای کمینه سهمی، در علم اقتصاد و مدیریت است. فرض کنید یک شرکت تولیدکننده نوشابه، پس از تحقیقات بازار به این نتیجه رسیده که رابطۀ بین قیمت فروش هر بطری (بر حسب هزار تومان) و تعداد فروش روزانه (بر حسب هزار بطری) به صورت خطی است. اگر تابع هزینهی تولید هم مشخص باشد، میتوان تابع سود شرکت را بهدست آورد. اغلب این توابع سود، به شکل یک سهمی با $a \lt 0$ هستند (بیشینه سود)، اما گاهی اوقات شرکتها به دنبال کمینهسازی هزینهها هستند.
برای مثال، تابع هزینهی متوسط (Average Cost) یک شرکت برای تولید $x$ هزار دستگاه، به صورت $C(x) = x^2 - 10x + 35$ بهدست آمده است. مدیران شرکت میخواهند بدانند در چه سطحی از تولید، هزینهی متوسط به پایینترین مقدار خود میرسد تا برنامهریزی تولید را بهینه کنند. در اینجا $a=1 \gt 0$ است، پس سهمی دارای کمینه است. نقطهی کمینه (تولید بهینه) برابر است با: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-10)}{2 \times 1} = \frac{10}{2} = 5$. پایینترین هزینهی متوسط نیز برابر: $C(5) = (5)^2 - 10(5) + 35 = 25 - 50 + 35 = 10$. یعنی با تولید $5$ هزار دستگاه، هزینه به کمترین میزان خود یعنی $10$ واحد پولی به ازای هر دستگاه میرسد. این همان نقطهی سر بهسر در صرفهجویی به مقیاس است.
۴. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ اگر $a \gt 0$ باشد، آیا همیشه سهمی یک کمینه دارد؟
✅ بله، قطعاً. وقتی $a \gt 0$ باشد، سهمی همیشه به سمت بالا باز میشود و یک نقطه به عنوان پایینترین نقطه (رأس) خواهد داشت. این یک ویژگی ذاتی و تغییرناپذیر برای تمام سهمیهای مثبت است، حتی اگر $b$ و $c$ هر عددی باشند.
❓ تفاوت بین کمینه و رأس سهمی چیست؟
✅ در سهمیهایی که $a \gt 0$ دارند، رأس دقیقاً همان نقطهی کمینه است. اما در سهمیهایی که $a \lt 0$ دارند، رأس به نقطهی بیشینه تبدیل میشود. بنابراین میتوان گفت رأس یک مفهوم کلیتر است که بسته به علامت $a$ میتواند کمینه یا بیشینه باشد. در این مقاله، تمرکز ما روی رأس به عنوان کمینه است.
❓ آیا میتوان کمینه را بدون استفاده از فرمول و فقط با رسم نمودار پیدا کرد؟
✅ قطعاً. با رسم چند نقطه و پیدا کردن محور تقارن1، میتوانید پایینترین نقطه را به صورت تقریبی پیدا کنید. اما فرمول رأس، روشی دقیق و سریع برای تعیین مختصات آن است. رسم نمودار برای درک بصری و فرمول برای دقت ریاضی عالی هستند.
۵. مقایسه انواع سهمی از نظر نقطهی کمینه و بیشینه
| علامت ضریب a | جهت باز شدن دهانه | نوع نقطهی رأس | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| $a \gt 0$ | به سمت بالا (لبخند) | کمینه (Min) | $y = x^2$ |
| $a \lt 0$ | به سمت پایین (غمگین) | بیشینه (Max) | $y = -x^2$ |
| $a = 0$ | خط راست (نه سهمی) | فاقد نقطهی کمینه/بیشینه | $y = 2x + 1$ |
? نکتهی نهایی
پایینترین نقطهی سهمی با $a \gt 0$ صرفاً یک مفهوم انتزاعی ریاضی نیست، بلکه ابزاری قدرتمند برای حل مسائل بهینهسازی در دنیای واقعی است. از طراحی سازههای مهندسی گرفته تا تعیین قیمت بهینه در کسبوکار، درک این مفهوم به ما کمک میکند تا بهترین تصمیمها را بگیریم. به خاطر داشته باشید که این نقطه دقیقاً روی محور تقارن سهمی قرار دارد و سهمی را به دو نیمۀ مساوی تقسیم میکند. با تسلط بر فرمول $x_v = -\frac{b}{2a}$، کلید بسیاری از این مسائل را در دست خواهید داشت.
پاورقی
1محور تقارن (Axis of Symmetry): خطی عمودی به معادله $x = -\frac{b}{2a}$ که سهمی را به دو بخش کاملاً قرینه تقسیم میکند و رأس سهمی دقیقاً روی این خط قرار دارد.
2رأس (Vertex): نقطهای روی سهمی که در آن، سهمی تغییر جهت میدهد. در سهمیهای مثبت، پایینترین نقطه و در سهمیهای منفی، بالاترین نقطه است.
3کمینه (Minimum): کوچکترین مقدار خروجی یک تابع در یک بازه مشخص. برای سهمیهای مثبت، این مقدار در رأس رخ میدهد.
