ریشه مضاعف: نقطه اوج برخورد سهمی با محور x
۱. چیستی ریشه مضاعف: از نگاه جبر و هندسه
فرم کلی یک معادله درجه دوم به صورت $ax^2 + bx + c = 0$ است که در آن $a \neq 0$. برای یافتن ریشههای این معادله از فرمول حل معادله درجه دوم استفاده میکنیم که در آن یک عبارت کلیدی به نام ممیز یا Δ (Delta) وجود دارد:
حالتهای مختلف برای $\Delta$ به صورت زیر است:
| مقدار Δ | نوع ریشهها | تعبیر هندسی (برخورد سهمی با محور $x$) |
|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | دو ریشه حقیقی متفاوت | سهمی محور $x$ را در دو نقطه قطع میکند. |
| $\Delta = 0$ | یک ریشه حقیقی (دو ریشه مساوی) ریشه مضاعف | سهمی مماس بر محور $x$ است (ریشه، نقطه تماس است). |
| $\Delta \lt 0$ | ریشه حقیقی ندارد (دو ریشه مختلط) | سهمی محور $x$ را قطع یا لمس نمیکند. |
در حالت $\Delta = 0$، عبارت $\pm \sqrt{\Delta}$ از بین میرود و فرمول حل به صورت ساده $x = -\frac{b}{2a}$ در میآید. به این ریشه، ریشه مضاعف (Double Root) میگویند، زیرا اگر معادله را به صورت $a(x-x_1)^2 = 0$ بنویسیم، این ریشه دوبار تکرار شده است.
۲. حل گام به گام مثالهای عددی
مثال اول: معادله $x^2 - 6x + 9 = 0$ را در نظر بگیرید.
مراحل حل:
- شناسایی ضرایب: $a = 1$، $b = -6$، $c = 9$.
- محاسبه ممیز: $\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$.
- چون Δ=0 است، معادله دارای ریشه مضاعف به صورت $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$ میباشد.
- بررسی: معادله را میتوان به صورت $(x-3)^2 = 0$ نوشت.
مثال دوم (با ضریب a مخالف 1): معادله $2x^2 - 8x + 8 = 0$.
- ضرایب: $a = 2$، $b = -8$، $c = 8$.
- ممیز: $\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 64 - 64 = 0$.
- ریشه مضاعف: $x = -\frac{(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$.
- شکل فاکتوری: $2(x-2)^2 = 0$.
مثال سوم (با ضریب b زوج): معادله $3x^2 - 6\sqrt{2}x + 6 = 0$. (با فرض $\sqrt{2}^2 = 2$)
- $\Delta = (-6\sqrt{2})^2 - 4\cdot 3 \cdot 6 = 36 \cdot 2 - 72 = 72 - 72 = 0$.
- ریشه: $x = \frac{6\sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \frac{6\sqrt{2}}{6} = \sqrt{2}$.
۳. کاربرد عملی: پرتاب یک توپ به سمت بالا
فرض کنید توپی را با سرعت اولیه $v_0$ از ارتفاع $h_0$ به سمت بالا پرتاب میکنیم. معادله مکان توپ بر حسب زمان $t$ به صورت $h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t + h_0$ است. اگر مسئله طوری طراحی شود که توپ دقیقاً پس از مدتی به نقطه پرتاب بازگردد (و نه پایینتر یا بالاتر)، معادله $h(t) = h_0$ به یک معادله درجه دوم میانجامد که ممکن است دارای ریشه مضاعف باشد. ریشه مضاعف در اینجا معنای جالبی میدهد: زمانی که توپ به اوج خود میرسد و دوباره به نقطه شروع بازمیگردد، این اتفاق در یک لحظه خاص (لحظه اوج) نمیافتد، بلکه مفهوم ریشه مضاعف به شرایط مرزی اشاره دارد؛ مثلاً وقتی پرتابگر توپ را با سرعت ویژهای پرتاب کند که مسیر حرکت دقیقاً بر خط افق مماس شود. این مثال نشان میدهد که ریشه مضاعف صرفاً یک مفهوم انتزاعی نیست، بلکه در فیزیک و مهندسی برای توصیف حالتهای مرزی و آستانهای به کار میرود.
در طراحی سازهها یا محاسبه مسیر پرتابهها، رسیدن به ریشه مضاعف به معنای دستیابی به یک شرایط بهینه یا مرزی است. برای مثال، در شیرهای کنترلی، تنظیم فشار بهگونهای که جریان سیال دقیقاً در آستانه قطع شدن باشد، میتواند با معادلهای توصیف شود که Δ آن صفر است.
۴. چالشهای مفهومی دانشآموزان با ریشه مضاعف
پاسخ: از دیدگاه جبر، معادله درجه دوم همواره دو ریشه دارد (ممکن است حقیقی یا مختلط، مساوی یا متفاوت باشند). وقتی Δ=0 باشد، هر دو ریشه حقیقی و مساوی هستند. به عبارت دیگر، معادله را میتوان به صورت $a(x - x_1)(x - x_2)$ نوشت و چون $x_1 = x_2$، گفته میشود ریشه مضاعف (تکراری) است.
پاسخ: بله، دقیقاً. فرمول طول رأس سهمی $x_v = -\frac{b}{2a}$ است. در حالت Δ=0، سهمی محور x را لمس میکند و نقطه تماس همان رأس سهمی است. پس ریشه مضاعف همواره با مختصات x رأس منطبق است.
پاسخ: اگر معادله به صورت یک مربع کامل باشد ($a(x - h)^2 = 0$)، قطعاً ریشه مضاعف دارد. همچنین اگر نمودار سهمی را رسم کنیم و ببینیم که رأس آن دقیقاً روی محور x قرار گرفته (طول رأس هرچه هست، عرض آن صفر است)، آن معادله دارای ریشه مضاعف میباشد.
۵. مقایسه با سایر حالات ممیز
| ویژگی | حالت Δ>0 | حالت Δ=0 (ریشه مضاعف) | حالت Δ |
|---|---|---|---|
| نمودار سهمی | محور x را در دو نقطه قطع میکند | محور x را لمس میکند (یک نقطه تماس) | محور x را قطع نمیکند |
| تعداد ریشه حقیقی | دو | یک (مضاعف) | صفر |
| رابطه با ضرایب | $b^2 \gt 4ac$ | $b^2 = 4ac$ | $b^2 \lt 4ac$ |
پاورقیها
1رأس سهمی (Vertex): نقطه عطف نمودار سهمی که در آن شیب صفر است. برای سهمی $y = ax^2 + bx + c$، مختصات رأس به صورت $(\frac{-b}{2a}, \frac{-\Delta}{4a})$ محاسبه میشود.
