فرمول کلی معادله درجه دوم: روشی که ریشه‌های ax^2+bx+c=0 را با یک فرمول عمومی به دست می‌دهد

فرمول کلی معادله درجه دوم: روشی که ریشه‌های ax²+bx+c=0 را با یک فرمول عمومی به دست می‌دهد

۱. شناخت معادله درجه دوم و پارامترهای آن

معادله درجه دوم به معادله‌ای گویند که به فرم استاندارد $ax^2 + bx + c = 0$ نوشته شود، به شرطی که $a \neq 0$. در این ساختار، $a$ ضریب $x^2$، $b$ ضریب $x$ و $c$ عدد ثابت است. به عنوان مثال، در معادله $2x^2 - 4x + 1 = 0$، مقادیر $a = 2$، $b = -4$ و $c = 1$ هستند. شناسایی دقیق این ضرایب اولین گام برای استفاده از فرمول کلی است.

ریشه‌های معادله درجه دوم، مقادیری از $x$ هستند که معادله را به تساوی $0=0$ تبدیل می‌کنند. پیش از کشف فرمول کلی، ریاضی‌دانان با روش‌های گوناگونی مانند رسم نمودار یا حدس و آزمایش به دنبال ریشه‌ها می‌گشتند. اما امروزه با کمک فرمول کلی که بر اساس روش "تکمیل مربع"¹ بنا شده است، می‌توانیم ریشه‌ها را به‌سرعت و با دقت بالا محاسبه کنیم.

۲. اثبات فرمول کلی به روش تکمیل مربع

فرض کنید با معادله $ax^2 + bx + c = 0$ روبرو هستیم و $a \neq 0$. مراحل اثبات گام به گام به شرح زیر است:

• گام اول: خارج کردن ضریب $a$ از دو جمله اول
  ابتدا با تقسیم دو طرف معادله بر $a$، آن را به صورت $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$ می‌نویسیم. سپس دو جمله اول را در نظر گرفته و ضریب $x$ را مشخص می‌کنیم: $x^2 + \frac{b}{a}x$.
• گام دوم: اضافه و کم کردن مربع نصف ضریب $x$
  برای تکمیل مربع، باید جمله‌ای را به عبارت اضافه کنیم که آن را به صورت مربع یک دو جمله‌ای درآورد. نصف ضریب $x$ برابر $\frac{b}{2a}$ است. مربع آن $\frac{b^2}{4a^2}$ می‌باشد. این مقدار را اضافه و کم می‌کنیم: $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$
• گام سوم: فاکتورگیری به صورت مربع کامل
  سه جمله اول یک مربع کامل هستند: $(x + \frac{b}{2a})^2$. بنابراین معادله به شکل زیر درمی‌آید: $(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$
• گام چهارم: انتقال جملات ثابت به سمت راست
  با انتقال دو جمله آخر به سمت راست معادله داریم: $(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$
• گام پنجم: ساده‌سازی سمت راست
  برای ساده‌سازی، مخرج مشترک می‌گیریم: $\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
• گام ششم: گرفتن جذر از دو طرف
  از دو طرف معادله جذر می‌گیریم (به علامت $\pm$ توجه کنید): $x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
• گام هفتم: حل نهایی برای $x$
  با انتقال $\frac{b}{2a}$ به سمت راست، به فرمول کلی می‌رسیم: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

۳. تحلیل دلتا (Δ) و تعیین نوع ریشه‌ها

مقدار دلتا مستقیماً مشخص می‌کند که معادله چه نوع ریشه‌هایی دارد. این موضوع را می‌توان در جدول زیر به‌خوبی مشاهده کرد:

این تحلیل به ما کمک می‌کند بدون محاسبه دقیق ریشه‌ها، از ماهیت جواب‌ها آگاه شویم. به عنوان مثال، اگر دلتا منفی باشد، بلافاصله می‌فهمیم که معادله در مجموعه اعداد حقیقی جواب ندارد.

۴. کاربرد عملی فرمول با مثال‌های عددی

مثال اول (دو ریشه حقیقی متفاوت): معادله $x^2 - 5x + 6 = 0$ را حل کنید.
در این معادله، $a = 1$، $b = -5$ و $c = 6$. ابتدا دلتا را محاسبه می‌کنیم: $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \gt 0$ سپس با فرمول کلی داریم: $x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 \pm 1}{2}$ بنابراین ریشه‌ها عبارتند از: $x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$ و $x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$.

مثال دوم (ریشه مضاعف): معادله $4x^2 - 4x + 1 = 0$ را حل کنید. در اینجا $a=4$، $b=-4$ و $c=1$. دلتا برابر است با: $\Delta = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0$ پس ریشه به صورت مضاعف خواهد بود: $x = \frac{-(-4)}{2 \times 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ می‌توانید بررسی کنید که معادله به صورت $(2x - 1)^2 = 0$ قابل نوشتن است.

مثال سوم (ریشه‌های مختلط): معادله $x^2 + 2x + 5 = 0$ را در نظر بگیرید. مقادیر: $a=1$، $b=2$ و $c=5$. دلتا منفی است: $\Delta = (2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 \lt 0$ بنابراین ریشه‌ها مختلط خواهند بود: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$ که در آن $i$ یکه موهومی ($i^2 = -1$) است.

۵. چالش‌های مفهومی (پرسش و پاسخ)

پاورقی‌ها