مربع کامل: از عبارت تا سهجملهای درجه دوم
اتحاد مربع کامل: تعریف و فرمولبندی
مربع کامل به عبارتی جبری گفته میشود که حاصل بسط یک دوجملهای به توان دو باشد. به عبارت دیگر، اگر بتوانیم یک سهجملهای درجه دوم مانند $ax^{2}+bx+c$ را به شکل $(x+p)^{2}$ یا $(mx+n)^{2}$ بنویسیم، آن سهجملهای یک مربع کامل نامیده میشود. اساس این اتحاد از هندسه و مساحت مربعها نشأت میگیرد. دو فرم استاندارد این اتحاد به شرح زیر است:- حالت اول (ضریب یک):$(x + p)^{2} = x^{2} + 2px + p^{2}$
- حالت دوم (ضریب دلخواه):$(mx + n)^{2} = m^{2}x^{2} + 2mnx + n^{2}$
$(x+3)^{2} = (x+3)(x+3) = x^{2} + 3x + 3x + 9 = x^{2} + 6x + 9$.
در اینجا $p=3$ است، جمله وسط $2 \times 3 \times x = 6x$ و جمله آخر $3^{2}=9$ میباشد. این یک سهجملهای درجه دوم مربع کامل است.
روش تشخیص یک سهجملهای مربع کامل
برای اینکه تشخیص دهیم یک سهجملهای درجه دوم مانند $ax^{2}+bx+c$ مربع کامل هست یا خیر، مراحل زیر را انجام میدهیم. این مراحل به ما کمک میکند تا ضرایب را با فرمول کلی مطابقت دهیم.- جمله اول و آخر باید مربع باشند: جملات $ax^{2}$ و $c$ باید بتوانند به صورت مربع یک عبارت ( $(\sqrt{a}x)^{2}$ و $(\sqrt{c})^{2}$ ) نوشته شوند. بنابراین $a$ و $c$ باید اعداد مثبت و مربع کامل باشند.
- بررسی جمله وسط: جمله وسط ( $bx$ ) باید برابر با $2 \times (\sqrt{a}x) \times (\sqrt{c})$ یا منفی آن باشد. یعنی $b = \pm 2\sqrt{a}\sqrt{c}$.
| سهجملهای درجه دوم | جمله اول ( $a$ ) | جمله آخر ( $c$ ) | شرط جمله وسط ( $2\sqrt{a}\sqrt{c}$ ) | نتیجه |
|---|---|---|---|---|
| $x^{2}+8x+16$ | $1$ ($\sqrt{1}=1$) | $16$ ($\sqrt{16}=4$) | $2 \times 1 \times 4 = 8$ | مربع کامل |
| $4x^{2}+12x+9$ | $4$ ($\sqrt{4}=2$) | $9$ ($\sqrt{9}=3$) | $2 \times 2 \times 3 = 12$ | مربع کامل |
| $x^{2}+5x+6$ | $1$ ($\sqrt{1}=1$) | $6$ ($\sqrt{6} \approx 2.45$) | $2 \times 1 \times \sqrt{6} \approx 4.9$ | مربع کامل نیست |
کاربرد عملی: تکمیل مربع در حل معادلات درجه دوم
یکی از مهمترین کاربردهای مفهوم مربع کامل، روش «تکمیل مربع»³ برای حل معادلات درجه دوم است. این روش به ما امکان میدهد هر معادله درجه دومی را به یک مربع کامل تبدیل کرده و به سادگی حل کنیم. فرض کنید میخواهیم معادله $x^{2} + 6x + 2 = 0$ را حل کنیم. مراحل تکمیل مربع:- جملات شامل $x$ را در یک سمت و عدد ثابت را به سمت دیگر میبریم:
$x^{2} + 6x = -2$ - برای تشکیل مربع کامل، باید عددی را به دو طرف معادله اضافه کنیم که جمله سمت چپ را به صورت مربع یک دوجملهای درآورد. این عدد، مربع نصف ضریب $x$ است. ضریب $x$ برابر $6$ است، نصف آن $3$ و مربع آن $9$ میشود. عدد $9$ را به دو طرف معادله اضافه میکنیم:
$x^{2} + 6x + 9 = -2 + 9$ - سمت چپ معادله اکنون یک مربع کامل است. آن را به صورت مربع مینویسیم:
$(x + 3)^{2} = 7$ - از دو طرف معادله جذر میگیریم:
$x + 3 = \pm \sqrt{7}$ - معادله را برای یافتن $x$ حل میکنیم:
$x = -3 \pm \sqrt{7}$
چالشهای مفهومی و پرسشهای رایج
❓ آیا عبارت $x^{2} - 5x + 6.25$ یک مربع کامل است؟
بله. جمله اول $x^{2}$ ($\sqrt{a}=1$) و جمله آخر $6.25$ ($\sqrt{6.25}=2.5$) است. جمله وسط باید $2 \times 1 \times 2.5 = 5$ باشد که با علامت منفی در عبارت تطابق دارد. پس این عبارت برابر با $(x - 2.5)^{2}$ است.
❓ تفاوت بین «اتحاد مربع کامل» و «روش تکمیل مربع» چیست؟
اتحاد مربع کامل یک فرمول جبری است که رابطه بین یک دوجملهای و توان دوم آن را نشان میدهد. در حالی که روش تکمیل مربع یک تکنیک برای حل معادلات یا بازنویسی عبارات است که با استفاده از همان اتحاد، یک عبارت درجه دوم را به مربع کامل تبدیل میکند.
❓ اگر ضریب $x^{2}$ مخالف یک باشد، چگونه میتوان تشخیص داد یک عبارت مربع کامل است؟
در این حالت باید از فرم کلی $(mx+n)^{2}=m^{2}x^{2}+2mnx+n^{2}$ استفاده کنیم. شرط آن است که $a$ و $c$ (با احتساب علامت) مربعهای کامل باشند ( $a=m^{2}$ و $c=n^{2}$ ) و همچنین $b = 2mn$. برای مثال، در $9x^{2}-12x+4$، داریم $m=\pm3$ و $n=\pm2$. جمله وسط $2 \times 3 \times 2 =12$ است که با علامت منفی، تطابق دارد. بنابراین عبارت برابر $(3x-2)^{2}$ است.
پاورقیها
1 مربع کامل (Perfect Square): به عبارتی گویند که بتوان آن را به صورت مربع یک عبارت جبری دیگر (مانند یک دوجملهای) نوشت.
2 معادله درجه دوم (Quadratic Equation): معادلهای به شکل کلی $ax^{2}+bx+c=0$ که در آن $a \neq 0$ است.
3 تکمیل مربع (Completing the Square): فرایندی برای تبدیل یک چندجملهای درجه دوم به شکل $a(x-h)^{2}+k$ با افزودن یک مقدار مناسب به عبارت.
4 رأس سهمی (Vertex of a Parabola): نقطه بیشینه یا کمینه نمودار یک تابع درجه دوم که با استفاده از فرم $a(x-h)^{2}+k$ به سادگی قابل تعیین است.
