معادله x2 = a و مفهوم جذر
آشنایی با دو جواب مثبت و منفی معادله درجه دوم و کاربرد علامتها در حل مسائل
خلاصه: معادله x2 = a (با a نامنفی) یکی از پایهایترین مفاهیم در ریاضیات دبیرستان است. برخلاف تصور عموم، این معادله همواره دو جواب دارد: یک جواب مثبت √a (ریشهی دوم اصلی) و یک جواب منفی -√a. در این مقاله با زبانی ساده و مثالهای گوناگون، مفهوم جذر، چرایی وجود دو جواب، دامنهی مجاز a و کاربرد آن در معادلات دیگر را بررسی میکنیم.
۱. تعریف جذر و شرط نامنفی بودن a
در ریاضیات، اگر a عددی حقیقی و نامنفی1 باشد، جذر2 آن عددی چون c است بهگونهای که c2 = a. این تعریف بهتنهایی نشان میدهد که اگر c یک جواب باشد، آنگاه -c نیز جواب خواهد بود؛ زیرا (-c)2 = c2 = a. بههمین دلیل است که معادلهی x2 = a (با a ≥ 0) همواره دو جواب دارد: x = √a و x = -√a. اما چرا a باید نامنفی باشد؟ اگر a منفی باشد، در مجموعهی اعداد حقیقی عددی نداریم که مربع آن منفی شود. در این صورت معادله در اعداد حقیقی بیجواب است و باید به سراغ اعداد مختلط3 رفت.
نکته: علامت √a در ریاضیات مدرن فقط به ریشهی دوم نامنفی (اصلی) اشاره دارد. یعنی √9 مساوی ۳ است نه -۳. با این حال، وقتی میگوییم جوابهای معادلهی x2 = 9، باید هر دو را در نظر بگیریم: x = ۳ و x = -۳.
برای درک بهتر، جدول زیر چند نمونه از معادلههای x2 = a و جوابهای آنها را نشان میدهد:
| معادله | مقدار a | √a | جوابهای معادله |
|---|---|---|---|
| x2 = 16 | ۱۶ | ۴ | x = ۴ یا x = -۴ |
| x2 = 0 | ۰ | ۰ | x = ۰ (دو جواب بر هم منطبق) |
| x2 = 2 | ۲ | √۲ ≈ ۱.۴۱۴ | x = √۲ یا x = -√۲ |
| x2 = -4 | -۴ | تعریفنشده (در ℝ) | بدون جواب حقیقی |
۲. از هندسه تا فیزیک: کاربرد عملی دو جواب
چرا باید بدانیم یک معادلهی ساده دو جواب دارد؟ زیرا در مسائل کاربردی، هر دو جواب ممکن است معنای فیزیکی یا هندسی داشته باشند. به عنوان مثال، فرض کنید میخواهیم مربعی رسم کنیم که مساحت آن ۲۵ سانتیمتر مربع باشد. طول ضلع مربع از رابطهی x2 = 25 بهدست میآید. در اینجا x = ۵ جواب قابل قبول است (طول ضلع مثبت) و x = -۵ جوابی غیرمرتبط با مسئله است، زیرا طول ضلع نمیتواند منفی باشد. اما در فیزیک، گاهی منفی بودن جواب معنا دارد. فرض کنید جسمی از سطح زمین به سمت بالا پرتاب میکنیم. معادلهی مکانزمان آن h(t) = h0 + v0t - ½gt2 است. اگر بخواهیم زمان رسیدن جسم به ارتفاعی مشخص (مثلاً H) را پیدا کنیم، به معادلهای درجهدو میرسیم. ممکن است یکی از جوابها منفی باشد که نشاندهندهی زمانی در گذشته (قبل از پرتاب) است و جواب مثبت، زمان آیندهی رویداد را نشان میدهد. مثال دیگر: در الکتریسیته، هنگام محاسبهی جریان در یک مدار با دو منبع تغذیه، ممکن است به معادلهای چون I2 = 4 برسیم. در اینجا I = ۲ آمپر و I = -۲ آمپر هر دو معنا دارند: علامت منفی فقط جهت مخالف جریان را نشان میدهد. بنابراین نادیدهگرفتن جواب منفی میتواند به خطا در تحلیل جهت جریان منجر شود.۳. حل گامبهگام معادلات پیچیدهتر
گاهی معادلهی ما مستقیماً بهصورت x2 = a نیست، بلکه پس از تغییر متغیر یا سادهسازی به این شکل درمیآید. در این موارد نیز همان قانون دو جوابی برقرار است. مراحل کلی به این صورت است:- گام اولایزوله کردن x2: عبارت شامل x2 را در یک سمت معادله و بقیه را در سمت دیگر قرار میدهیم.
- گام دومبررسی علامت سمت دیگر: اگر سمت دیگر معادله منفی بود، در اعداد حقیقی جوابی وجود ندارد.
- گام سومجذر گرفتن: از دو طرف معادله جذر میگیریم و بهیاد میآوریم که حاصلجذر، مقداری نامنفی است. سپس هر دو جواب +√ و -√ را مینویسیم.
حل:
۲(x-۱)2 = ۸
(x-۱)2 = ۴
اکنون معادله به فرم u2 = ۴ با u = x-۱ درآمده است. بنابراین:
u = √۴ = ۲ یا u = -√۴ = -۲
با برگرداندن متغیر:
x-۱ = ۲ یا x-۱ = -۲
x = ۳ یا x = -۱
پس مجموعه جواب {۳, -۱} است.
۲(x-۱)2 = ۸
(x-۱)2 = ۴
اکنون معادله به فرم u2 = ۴ با u = x-۱ درآمده است. بنابراین:
u = √۴ = ۲ یا u = -√۴ = -۲
با برگرداندن متغیر:
x-۱ = ۲ یا x-۱ = -۲
x = ۳ یا x = -۱
پس مجموعه جواب {۳, -۱} است.
۴. چالشهای مفهومی رایج
❓ آیا √(x2) همواره برابر x است؟
پاسخ: خیر. طبق تعریف، √(x2) برابر قدر مطلق x است، یعنی |x|. به همین دلیل است که معادلهی √(x2) = a با a ≥ ۰ معادل |x| = a است که دو جواب x = a و x = -a دارد.
پاسخ: خیر. طبق تعریف، √(x2) برابر قدر مطلق x است، یعنی |x|. به همین دلیل است که معادلهی √(x2) = a با a ≥ ۰ معادل |x| = a است که دو جواب x = a و x = -a دارد.
❓ اگر a منفی باشد، تکلیف چیست؟
پاسخ: در مجموعه اعداد حقیقی، معادله x2 = a با a جوابی ندارد. اما در مجموعه اعداد مختلط، دو جواب موهومی4 خواهد داشت. برای مثال، x2 = -۱ در اعداد مختلط جوابهای x = i و x = -i را دارد که در آن i2 = -۱.
پاسخ: در مجموعه اعداد حقیقی، معادله x2 = a با a جوابی ندارد. اما در مجموعه اعداد مختلط، دو جواب موهومی4 خواهد داشت. برای مثال، x2 = -۱ در اعداد مختلط جوابهای x = i و x = -i را دارد که در آن i2 = -۱.
❓ چرا در فرمول حل معادله درجه دوم ax2+bx+c=۰ علامت ± داریم؟
پاسخ: این علامت ± دقیقاً بهخاطر همین ویژگی دو جوابی جذر است. وقتی به مرحلهی (x + b/۲a)2 = (b2-۴ac)/(۴a2) میرسیم، از دو طرف جذر میگیریم و بهناچار دو حالت مثبت و منفی برای عبارت داخل جذر ظاهر میشود.
پاسخ: این علامت ± دقیقاً بهخاطر همین ویژگی دو جوابی جذر است. وقتی به مرحلهی (x + b/۲a)2 = (b2-۴ac)/(۴a2) میرسیم، از دو طرف جذر میگیریم و بهناچار دو حالت مثبت و منفی برای عبارت داخل جذر ظاهر میشود.
✨ جمعبندی
معادلهی x2 = a با فرض a ≥ ۰ دقیقاً دو جواب حقیقی دارد: x = √a و x = -√a. این یک قاعدهی بنیادی است که ریشه در تعریف جذر و خاصیت مربع اعداد دارد. نادیده گرفتن جواب منفی در مسائل علمی ممکن است به از دست رفتن بخشی از اطلاعات مسئله (مانند جهت یا زمانهای جایگزین) منجر شود. با درک این مفهوم ساده میتوانیم معادلات درجهدو و رادیکالی را با اطمینان بیشتری حل کنیم و تفسیر درستی از جوابهای بهدستآمده داشته باشیم.
معادلهی x2 = a با فرض a ≥ ۰ دقیقاً دو جواب حقیقی دارد: x = √a و x = -√a. این یک قاعدهی بنیادی است که ریشه در تعریف جذر و خاصیت مربع اعداد دارد. نادیده گرفتن جواب منفی در مسائل علمی ممکن است به از دست رفتن بخشی از اطلاعات مسئله (مانند جهت یا زمانهای جایگزین) منجر شود. با درک این مفهوم ساده میتوانیم معادلات درجهدو و رادیکالی را با اطمینان بیشتری حل کنیم و تفسیر درستی از جوابهای بهدستآمده داشته باشیم.
پاورقیها
[1] نامنفی (Non-negative): به اعداد بزرگتر یا مساوی صفر گفته میشود.
[2] جذر (Square root): عملی است که عددی را مییابد که با خودش ضرب شود عدد زیر رادیکال را بدهد.
[3] اعداد مختلط (Complex numbers): اعدادی به شکل a+bi که در آن a و b حقیقی و i یکهی موهومی (i2 = -۱) است.
[4] موهومی (Imaginary): به اعدادی گفته میشود که مربع آنها عددی منفی است.
[2] جذر (Square root): عملی است که عددی را مییابد که با خودش ضرب شود عدد زیر رادیکال را بدهد.
[3] اعداد مختلط (Complex numbers): اعدادی به شکل a+bi که در آن a و b حقیقی و i یکهی موهومی (i2 = -۱) است.
[4] موهومی (Imaginary): به اعدادی گفته میشود که مربع آنها عددی منفی است.
