اتحاد جمله مشترک؛ پلی از ضرب عبارات جبری تا تجزیه سریع
۱. ساختار اتحاد و ارتباط آن با ریشههای معادله
اتحاد جمله مشترک(Common Term Identity)1 از ضرب دو عبارت جبری که در یک جمله با یکدیگر مشترک هستند، به دست میآید. جمله مشترک در این دو عبارت، متغیر x است. اگر دو عبارت $ (x+a) $ و $ (x+b) $ را در یکدیگر ضرب کنیم، خواهیم داشت:
$ (x+a)(x+b) = x \cdot x + x \cdot b + a \cdot x + a \cdot b = x^2 + (a+b)x + ab $
نکته کلیدی که در این اتحاد نهفته است، ارتباط مستقیم ضرایب عبارت درجه دوم با دو عدد ثابت a و b است. در واقع، اگر عبارت درجهدومی به فرم $ x^2 + px + q $ داشته باشیم، به دنبال دو عدد a و b میگردیم که:
- $ a+b = p $ (ضریب x)
- $ a \times b = q $ (عدد ثابت)
به این دو عدد، در حقیقت ریشههای(Roots)2 معادله $ x^2 + px + q = 0 $ نیز گفته میشود، با علامت مخالف. یعنی اگر معادله $ x^2 + px + q = 0 $ را در نظر بگیریم، جوابهای آن $ x = -a $ و $ x = -b $ خواهند بود.
۲. روش گامبهگام تجزیه با اتحاد جمله مشترک
برای تجزیه یک عبارت درجه دوم به فرم کلی $ x^2 + px + q $ با استفاده از این اتحاد، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
- شناسایی ضرایب: ضریب x که آن را p مینامیم و عدد ثابت q را از عبارت استخراج کنید.
- یافتن زوج اعداد مطلوب: به دنبال دو عدد a و b (میتوانند مثبت، منفی یا صفر باشند) بگردید که:
- a + b = p
- a × b = q
- نوشتن حاصلضرب: پس از یافتن a و b، عبارت به صورت $ (x+a)(x+b) $ نوشته میشود.
| عبارت درجه دوم ($ x^2+px+q $) | دو عدد مطلوب (a, b) | عبارت تجزیه شده ($ (x+a)(x+b) $) |
|---|---|---|
| $ x^2 + 7x + 10 $ | 2 و 5 ($2+5=7$، $2\times5=10$) | $ (x+2)(x+5) $ |
| $ x^2 - 5x + 6 $ | -2 و -3 ($ (-2)+(-3)=-5 $، $ (-2)\times(-3)=6 $) | $ (x-2)(x-3) $ |
| $ x^2 - x - 12 $ | 3 و -4 ($ 3+(-4)=-1 $، $ 3\times(-4)=-12 $) | $ (x+3)(x-4) $ |
۳. کاربردهای عملی: از حل معادله تا سادهسازی عبارات
توانایی تجزیه یک عبارت درجه دوم با این روش، دریچهای به سوی حل مسائل پیشرفتهتر است. دو کاربرد بسیار رایج آن عبارتند از:
- حل معادلات درجه دوم: اگر معادله $ x^2 + px + q = 0 $ را داشته باشیم، پس از تجزیه آن به $ (x+a)(x+b)=0 $، از قانون «ضرب دو عبارت صفر است، اگر و تنها اگر یکی از آنها صفر باشد» استفاده کرده و ریشهها را به سادگی به دست میآوریم: $ x=-a $ یا $ x=-b $.
- سادهسازی عبارات گویا: در کسرهای گویا که صورت و مخرج آنها عبارتهای درجه دوم هستند، با تجزیه هر یک، امکان سادهسازی عوامل مشترک فراهم میشود. برای مثال، $ \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 6} $ پس از تجزیه به $ \frac{(x+1)(x+2)}{(x+2)(x+3)} $ تبدیل شده و با حذف عامل مشترک $ (x+2) $، به $ \frac{x+1}{x+3} $ ساده میشود.
۴. چالشهای مفهومی و پرسشهای متداول
❓ اگر ضریب x^2 بزرگتر از 1 باشد، مثلاً $ 2x^2 + 7x + 3 $، چطور میتوان از این روش استفاده کرد؟
✅ در این حالت، ابتدا باید ضریب $ x^2 $ را که 2 است، فاکتور بگیریم: $ 2(x^2 + \frac{7}{2}x + \frac{3}{2}) $. سپس به دنبال دو عدد بگردیم که جمع آنها $ \frac{7}{2} $ و ضرب آنها $ \frac{3}{2} $ باشد. این اعداد 3 و $ \frac{1}{2} $ هستند. بنابراین داریم: $ 2(x+3)(x+\frac{1}{2}) $. در نهایت میتوانیم $ 2 $ را در جمله دوم ضرب کنیم تا به فرم استاندارد $ (x+3)(2x+1) $ برسیم.
❓ اگر عدد ثابت (q) منفی باشد، نشانه چیست؟
✅ منفی بودن عدد ثابت به این معناست که دو عدد a و b باید علامتهای مخالف داشته باشند (زیرا حاصلضرب یک مثبت و یک منفی، منفی میشود). برای مثال در $ x^2 + 2x - 8 $، به دنبال دو عدد میگردیم که حاصلضرب -8 و حاصلجمع 2 باشد. این اعداد 4 و -2 هستند ($ 4+(-2)=2 $ و $ 4\times(-2)=-8 $).
❓ چگونه میتوان فهمید یک عبارت درجه دوم به این روش قابل تجزیه است یا خیر؟
✅ یک عبارت درجه دوم مانند $ x^2+px+q $ با ضرایب صحیح، به این روش قابل تجزیه است (به عوامل گویا) اگر بتوان دو عدد گویا (معمولاً صحیح) با جمع p و ضرب q یافت. در غیر این صورت، یا ریشهها گنگ هستند (و تجزیه شامل رادیکال میشود) یا ریشه مختلط است. برای تشخیص سریع، میتوان از دلتا $ \Delta = p^2 - 4q $ استفاده کرد. اگر $ \Delta $ یک مربع کامل باشد، اعداد a و b گویا خواهند بود.
پاورقی
- اتحاد جمله مشترک (Common Term Identity): به اتحاد $ (x+a)(x+b) = x^2+(a+b)x+ab $ گفته میشود. دلیل نامگذاری آن، وجود متغیر x به عنوان جمله مشترک در دو عامل است.
- ریشههای معادله (Roots of Equation): به مقادیری از متغیر گفته میشود که معادله را برآورده میکنند (عبارت جبری را صفر میکنند). در معادله $ (x+a)(x+b)=0 $، ریشهها $ x=-a $ و $ x=-b $ هستند.
- سهمی (Parabola): نمودار توابع درجه دوم به فرم $ y = ax^2+bx+c $ است. محل برخورد این نمودار با محور xها، همان ریشههای معادله هستند که با تجزیه عبارت به دست میآیند.
