گویا کردن مخرج کسرها با اتحاد مکعبها
از مزدوجگیری برای مربعها تا اتحاد مکعبها
برای گویا کردن مخرج کسری که مخرج آن شامل یک عبارت جمع یا تفریقی از ریشههای دوم ( square root ) است، از مزدوجگیری استفاده میکنیم. برای مثال، برای کسر $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$، صورت و مخرج را در مزدوج آن یعنی $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ضرب میکنیم. این کار بر اساس اتحاد مزدوج $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ عمل میکند و رادیکالها را از مخرج حذف مینماید . اما هنگامی که با ریشههای سوم ( cube root ) مواجه هستیم، این روش کارساز نیست. چرا؟ زیرا با ضرب کردن عبارت $\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}$ در مزدوجش، رادیکال به طور کامل حذف نمیشود. در عوض، به اتحادهای مجموع مکعبها $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ و تفاضل مکعبها $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ نیاز داریم . این اتحادها به ما اجازه میدهند با انتخاب یک عامل مناسب (فاکتور) برای ضرب، مکعب عبارت رادیکالی را ساخته و آن را از زیر رادیکال خارج کنیم .
روش کار: تفاضل مکعبها در مخرج $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})$
فرض کنید کسر $\frac{1}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}$ را داریم. مخرج ما به شکل $x - y$ است که در آن $x = \sqrt[3]{a}$ و $y = \sqrt[3]{b}$ میباشند. برای استفاده از اتحاد تفاضل مکعبها $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$، باید صورت و مخرج کسر را در جملهی $x^2 + xy + y^2$ ضرب کنیم. این جمله را «عامل گویاکننده» مینامیم. با این کار، مخرج جدید به $x^3 - y^3$ تبدیل میشود که برابر است با $(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3 = a - b$، یک عدد گویا .
مثال: کسر $\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}}$ را در نظر بگیرید.
- ابتدا عامل گویاکننده را میسازیم: $(\sqrt[3]{2})^2 + (\sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{3}) + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}$.
- صورت و مخرج را در این عامل ضرب میکنیم: $\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{3}} \times \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}} = \frac{\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9}}{(\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{3})^3}$.
- مخرج ساده میشود: $2 - 3 = -1$. بنابراین نتیجه برابر $-(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{9})$ خواهد بود.
روش کار: مجموع مکعبها در مخرج $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})$
اگر مخرج کسر به صورت جمع دو ریشهٔ سوم باشد، مثلاً $\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}$، از اتحاد مجموع مکعبها استفاده میکنیم: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. در اینجا $x = \sqrt[3]{a}$ و $y = \sqrt[3]{b}$ هستند. عامل گویاکننده، $x^2 - xy + y^2$ خواهد بود .
مثال استاندارد: کسر $\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}}$ را در نظر بگیرید .
- در اینجا $x=1$ و $y=\sqrt[3]{2}$. عامل گویاکننده: $(1)^2 - (1)(\sqrt[3]{2}) + (\sqrt[3]{2})^2 = 1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.
- ضرب میکنیم: $\frac{1}{1 + \sqrt[3]{2}} \times \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{(1)^3 + (\sqrt[3]{2})^3}$.
- مخرج برابر $1 + 2 = 3$ میشود. بنابراین جواب نهایی $\frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{3}$ است.
مثالهای ترکیبی و کاربردی
گاهی اوقات عبارت داخل رادیکال خود نیاز به سادهسازی دارد. مانند کسر $\frac{5}{\sqrt[3]{2}} - \frac{2}{\sqrt[3]{16}} + \frac{1}{\sqrt[3]{54}}$. در چنین مواردی، ابتدا هر جمله را سادهسازی میکنیم .
- $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \times 2} = 2\sqrt[3]{2}$، بنابراین $\frac{2}{\sqrt[3]{16}} = \frac{2}{2\sqrt[3]{2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
- $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2}$، بنابراین $\frac{1}{\sqrt[3]{54}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{2}}$.
- عبارت اصلی ساده میشود به: $\frac{5}{\sqrt[3]{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{3\sqrt[3]{2}} = (5 - 1 + \frac{1}{3})\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{13}{3} \times \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$.
- برای گویا کردن $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$، صورت و مخرج را در $\sqrt[3]{4}$ ضرب میکنیم (چرا که $\sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{8} = 2$) . نتیجه نهایی $\frac{13\sqrt[3]{4}}{6}$ خواهد بود.
| نوع رادیکال | اتحاد مورد استفاده | عامل گویاکننده برای $A - B$ | عامل گویاکننده برای $A + B$ |
|---|---|---|---|
| ریشه دوم ($\sqrt{}$) | $x^2-y^2$ | $A+B$ | $A-B$ |
| ریشه سوم ($\sqrt[3]{}$) | $x^3-y^3$ یا $x^3+y^3$ | $A^2 + AB + B^2$ | $A^2 - AB + B^2$ |
تعمیم روش به مخرجهای سه جملهای
روش گویا کردن با استفاده از اتحادهای مکعب، به مخرجهای دو جملهای محدود نمیشود. برای مخرجهایی با سه جمله که شامل ریشههای سوم هستند، مانند $\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c}}$، میتوان از یک اتحاد گستردهتر استفاده کرد .
اتحاد مورد نظر به این شکل است: $(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz) = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ .
با قرار دادن $x = \sqrt[3]{a}$، $y = \sqrt[3]{b}$ و $z = \sqrt[3]{c}$، عامل گویاکننده $x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz$ خواهد بود. پس از ضرب، مخرج به $a + b + c - 3\sqrt[3]{abc}$ تبدیل میشود که ممکن است خود نیاز به گویا شدن داشته باشد، اما مسیر را برای حذف رادیکالها هموارتر میکند .
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پاورقیها
1گویا کردن (Rationalizing): فرآیندی که در آن رادیکال را از مخرج کسر حذف میکنیم تا مخرج به یک عدد گویا تبدیل شود .
2اتحاد مزدوج (Conjugate): برای یک عبارت دوجملهای مانند $a+b$، مزدوج آن $a-b$ است. حاصل ضرب یک عبارت در مزدوجش، بر اساس اتحاد مزدوج، به صورت $a^2-b^2$ است .
3اتحاد مجموع مکعبها (Sum of Cubes):$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
4اتحاد تفاضل مکعبها (Difference of Cubes):$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.
5عامل گویاکننده (Rationalizing Factor): عبارتی که در صورت و مخرج کسر ضرب میشود تا رادیکال از مخرج حذف شود .
