سادهسازی کسرهای جبری: از تجزیه تا حذف عامل مشترک با رعایت دامنه
۱. مبانی کسر جبری و اهمیت دامنهی تعریف
یک کسر جبری، عبارتی است به شکل $\frac{P(x)}{Q(x)}$ که در آن $P(x)$ و $Q(x)$ چندجملهایهایی با متغیر $x$ هستند. مهمترین نکته در کار با کسرهای جبری، توجه به این اصل است: مخرج کسر هرگز نباید صفر شود؛ زیرا تقسیم بر صفر در ریاضیات تعریفنشده است. به همین دلیل، پیش از هرگونه سادهسازی باید مجموعهی اعداد قابل قبول برای متغیر (دامنهی تعریف1) را مشخص کنیم.۲. تجزیهی صورت و مخرج: اولین گام برای سادهسازی
برای یافتن عامل مشترک بین صورت و مخرج، ابتدا باید هر دو را به حاصلضرب عوامل کوچکتر تبدیل کنیم. این کار با روشهای مختلفی انجام میشود:- فاکتورگیری ساده: خارجسازی عامل مشترک از همهی جملات، مانند $2x^2-4x = 2x(x-2)$.
- اتحادها: استفاده از اتحادهای معروف مانند مزدوج ($a^2-b^2=(a-b)(a+b)$)، مربع دو جملهای ($(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$) و ...
- تجزیهی چندجملهای درجهی دوم: برای عبارتهایی مانند $ax^2+bx+c$ با یافتن دو عدد که حاصلضربشان $ac$ و مجموعشان $b$ باشد.
| روش تجزیه | مثال صورت/مخرج | عبارت تجزیهشده |
|---|---|---|
| فاکتورگیری از عامل مشترک | $3x^2-6x$ | $3x(x-2)$ |
| اتحاد مزدوج | $x^2-9$ | $(x-3)(x+3)$ |
| تجزیهی درجهی دوم ساده | $x^2-5x+6$ | $(x-2)(x-3)$ |
۳. حذف عامل مشترک: قلب سادهسازی
پس از تجزیهی کامل صورت و مخرج، اکنون نوبت به شناسایی و حذف عواملی میرسد که در هر دو ظاهر شدهاند. این کار مشابه سادهسازی کسرهای عددی مانند $\frac{6}{8} = \frac{2 \times 3}{2 \times 4} = \frac{3}{4}$ است. مثال عینی: فرض کنید میخواهیم کسر $\frac{x^2-4}{x^2+4x+4}$ را ساده کنیم.- گام ۱ – تجزیه: صورت: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ (اتحاد مزدوج). مخرج: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ (اتحاد مربع دو جملهای).
- گام ۲ – تعیین دامنه: مخرج $(x+2)^2=0$$\Rightarrow$$x=-2$. پس دامنهی تعریف: $\{x \in \mathbb{R} \mid x \neq -2\}$.
- گام ۳ – حذف عامل مشترک: کسر به صورت $\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$ (با حذف یک عامل $x+2$).
- نتیجه: شکل سادهشده $\frac{x-2}{x+2}$ با همان دامنهی اصلی ($x \neq -2$) معتبر است.
۴. کاربرد عملی: از مسئله تا حل
سادهسازی کسرهای جبری در حل معادلات، نامعادلات و مسائل بهینهسازی کاربرد فراوان دارد. برای مثال، فرض کنید در یک مسئلهی فیزیک به رابطهای مانند $\frac{2t^2-2}{t^3-t}$ برسیم. با سادهسازی:- $2t^2-2 = 2(t^2-1) = 2(t-1)(t+1)$
- $t^3-t = t(t^2-1) = t(t-1)(t+1)$
- دامنه: $t(t-1)(t+1) \neq 0 \Rightarrow t \neq 0,1,-1$
- با حذف $(t-1)(t+1)$، کسر ساده میشود به $\frac{2}{t}$، با همان دامنهی قبلی.
۵. چالشهای مفهومی در سادهسازی کسرهای جبری
❓ چالش ۱: اگر کسر $\frac{x-2}{(x-2)(x+3)}$ را با حذف $x-2$ به $\frac{1}{x+3}$ ساده کنیم، آیا این دو کسر کاملاً معادل هستند؟
✅ پاسخ: خیر، کسر اصلی در $x=2$ تعریفنشده است (چون مخرج صفر میشود) اما کسر سادهشده در $x=2$ مقداری برابر $\frac{1}{5}$ دارد. بنابراین دو کسر تنها در دامنهای که هر دو تعریف شدهاند (یعنی همه اعداد به جز $x=-3$ و $x=2$) با هم برابرند. ذکر شرط $x \neq 2$ پس از سادهسازی ضروری است.
❓ چالش ۲: در فرآیند سادهسازی $\frac{x^2-5x+6}{x-2}$، صورت را $(x-2)(x-3)$ تجزیه میکنیم. پس از حذف $x-2$، چرا باید همچنان $x \neq 2$ را قید کنیم؟
✅ پاسخ: زیرا کسر اصلی در $x=2$ به شکل $\frac{0}{0}$ درمیآید که یک عبارت تعریفنشده است. عمل حذف، یک عملیات جبری روی کسر اصلی است و ماهیت کسر را در نقاط مرزی تغییر نمیدهد. بنابراین دامنهی کسر سادهشده همان دامنهی کسر اصلی است.
❓ چالش ۳: آیا میتوانیم در کسر $\frac{(x^2+1)(x-3)}{(x-3)(x+5)}$ عامل $x-3$ را حذف کنیم؟
✅ پاسخ: بله، به شرطی که $x \neq 3$ (چون در این نقطه مخرج صفر است). عبارت $x^2+1$ هیچ گاه صفر نمیشود (چون $x^2 \ge 0$) و خطری برای دامنه ایجاد نمیکند. پس نتیجهی سادهشده $\frac{x^2+1}{x+5}$ با قید $x \neq 3,-5$ معتبر است.
۶. پاورقی
1دامنهی تعریف (Domain): مجموعهی همهی مقادیر مجاز برای متغیر که عبارت جبری در آن نقاط، معنی دار باشد. برای یک کسر جبری، دامنه شامل همهی اعداد حقیقی است به جز ریشههای مخرج.
