عبارت گویا: از تعریف تا کاربرد در ریاضیات دبیرستان
تعریف و ویژگیهای اصلی عبارتهای گویا
در ریاضیات، به هر عبارت به شکل $\frac{P(x)}{Q(x)}$ که در آن $P(x)$ و $Q(x)$ چندجملهای باشند و $Q(x) \neq 0$، یک عبارت گویا میگوییم . چندجملهایها خود شامل جملاتی با توانهای صحیح نامنفی از متغیر هستند. بنابراین هر عدد ثابت مانند $5$، یک چندجملهای (از درجه صفر) محسوب شده و در نتیجه یک عبارت گویا است. همینطور یک عبارت خطی مانند $2x+1$ نیز با قرار دادن مخرج $1$، یک عبارت گویا خواهد بود .
نکتهٔ طلایی مهمترین شرط گویا بودن یک عبارت، عدم وجود متغیر در شرایط زیر است :
- توان متغیر منفی نباشد (مثلاً $x^{-2}$ مجاز نیست).
- توان متغیر کسری نباشد (مثلاً $x^{\frac{1}{2}}$ مجاز نیست).
- متغیر زیر رادیکال نباشد (مثلاً $\sqrt{x}$ مجاز نیست).
- متغیر داخل قدرمطلق نباشد (مثلاً $|x|$ مجاز نیست).
به مثالهای زیر توجه کنید تا مرز بین عبارت گویا و غیرگویا برایتان روشن شود:
| عبارت | وضعیت | دلیل |
|---|---|---|
| $\frac{x^2-4}{x+2}$ | گویا ✅ | صورت و مخرج چندجملهای هستند. |
| $\frac{3+\sqrt{x}}{x}$ | غیر گویا ❌ | صورت شامل $\sqrt{x}$ است (متغیر زیر رادیکال). |
| $4x^3 - 2x + 1$ | گویا ✅ | میتوان آن را به صورت $\frac{4x^3 - 2x + 1}{1}$ نوشت. |
| $\frac{|x-3|}{x^2}$ | غیر گویا ❌ | صورت شامل قدرمطلق متغیر است. |
دامنهٔ تعریف: کجا عبارت گویا معنا دارد؟
مهمترین نکته در کار با عبارتهای گویا، توجه به مخرج کسر است. ما میدانیم که تقسیم بر صفر در ریاضیات تعریفنشده است. بنابراین هر عبارتی که مخرج آن صفر شود، برای آن مقدار از متغیر، فاقد معنا خواهد بود . مجموعه همه مقادیری که میتوان به جای متغیر گذاشت و عبارت معنا داشت، «دامنهٔ تعریف» نامیده میشود.
روش کار برای پیدا کردن دامنهٔ تعریف یک عبارت گویا، مخرج را برابر صفر قرار داده، معادله را حل میکنیم. جوابهای بهدستآمده، همان مقادیر ممنوعه هستند و بقیهٔ اعداد حقیقی[4] دامنه را تشکیل میدهند .
مثال: برای عبارت $\frac{x+1}{x^2 - 9}$، مخرج را صفر میگذاریم:
$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+3)=0 \Rightarrow x=3$ یا $x=-3$
بنابراین دامنهٔ تعریف این عبارت، همهٔ اعداد حقیقی به جز $3$ و $-3$ است .
عملیات جبری روی عبارتهای گویا
خوشبختانه عملیات روی عبارتهای گویا مشابه عملیات روی کسرهای عددی است. با این تفاوت که باید از تجزیه و اتحادها برای سادهسازی کمک بگیریم .
الف) سادهسازی: برای ساده کردن یک عبارت گویا، صورت و مخرج را تا حد امکان تجزیه میکنیم. سپس عاملهای مشترک را حذف مینماییم .
مثال: $\frac{x^2-1}{x^2+6x+5} = \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)(x+5)} = \frac{x-1}{x+5}$
ب) ضرب و تقسیم: در ضرب، صورتها در هم و مخرجها در هم ضرب میشوند (پس از سادهسازی). در تقسیم، کسر اول را نوشته و کسر دوم را معکوس میکنیم، سپس مانند ضرب عمل میکنیم .
مثال ضرب: $\frac{x-2}{x} \times \frac{x^2}{x^2-4} = \frac{x-2}{x} \times \frac{x^2}{(x-2)(x+2)} = \frac{x}{x+2}$
پ) جمع و تفریق: برای جمع و تفریق، باید مخرج مشترک بگیریم. کوچکترین مخرج مشترک (ک.م.م) از حاصلضرب عاملهای مشترک با بیشترین توان و عاملهای غیرمشترک به دست میآید. سپس صورتها را در کسرهای جدید نوشته و جمع یا تفریق میکنیم .
مثال: $\frac{2}{x} + \frac{3}{x-1} = \frac{2(x-1) + 3x}{x(x-1)} = \frac{2x-2+3x}{x(x-1)} = \frac{5x-2}{x(x-1)}$
کاربرد عبارتهای گویا در مسائل عملی
شاید تصور کنید عبارتهای گویا فقط در کلاس ریاضی کاربرد دارند، اما اینطور نیست. بسیاری از فرمولهایی که در زندگی روزمره با آنها سروکار داریم، به صورت یک عبارت گویا نوشته میشوند .
مثال عینی فرض کنید میخواهید با خانواده از تهران به اصفهان سفر کنید. مسافت تقریبی $450$ کیلومتر است. سرعت متوسط خودرو از رابطهٔ $v = \frac{450}{t}$ به دست میآید، که در آن $t$ زمان سفر بر حسب ساعت است. این یک عبارت گویاست. واضح است که $t$ نمیتواند صفر باشد (چرا که رسیدن آنی ممکن نیست) و همچنین اگر $t$ خیلی کوچک شود، سرعت غیرواقعی و بسیار زیادی به دست میآید.
مثال دیگر، تقسیم هزینهها بین افراد است. اگر هزینهٔ یک مهمانی $300000$ تومان باشد و تعداد افراد $n$ نفر، سهم هر نفر از رابطهٔ $\frac{300000}{n}$ به دست میآید. در اینجا نیز $n$ باید عددی مثبت باشد .
چالشهای مفهومی
پاسخ: خیر. صفر شدن صورت کسر هیچ مشکلی ایجاد نمیکند و فقط مقدار کل عبارت را صفر میکند. برای مثال، در عبارت $\frac{x}{x-2}$، اگر $x=0$ قرار دهیم، کسر برابر $0$ میشود که کاملاً تعریف شده است. تنها مقادیر ممنوعه، آنهایی هستند که مخرج را صفر کنند (در اینجا $x=2$) .
پاسخ: این عبارت یک عدد ثابت است. اگرچه در مخرج آن $\sqrt{2}$ را داریم که یک عدد گنگ است، اما از آنجایی که این عبارت فاقد متغیر است، میتوان آن را یک «عدد ثابت» در نظر گرفت. اعداد ثابت خود زیرمجموعهٔ چندجملهایها هستند. بنابراین $\frac{1}{\sqrt{2}}$ یک عبارت گویا (ثابت) محسوب میشود. توجه کنید که بحث «گویا بودن عبارت» با «گویا بودن عدد» متفاوت است .
پاسخ: شایعترین اشتباه، سادهکردن عامل مشترک بدون در نظر گرفتن شرط مخالف صفر بودن آن است. برای مثال، در عبارت $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$، دانشآموز ممکن است بگوید حاصل برابر $x+2$ است و دامنه را همهٔ اعداد بداند. این در حالی است که در عبارت اصلی، $x=1$ مجاز نیست. بنابراین باید همیشه به یاد داشته باشیم که عامل مشترک حذفشده باید مخالف صفر باشد .
- هر چندجملهای یک عبارت گویاست (چون میتوان مخرج آن را ۱ در نظر گرفت).
- وجود رادیکال، قدر مطلق یا توان کسری/منفی برای متغیر، عبارت را غیرگویا میکند.
- برای یافتن دامنهٔ تعریف، فقط به مخرج نگاه کنید و آن را برابر صفر قرار دهید.
- پس از سادهسازی، حتماً مقادیر ممنوعهٔ اولیه را در نظر داشته باشید.
- برای سادهسازی، تجزیه به عوامل اول و استفاده از اتحادها کلید اصلی است.
پاورقیها
1عبارت گویا (Rational Expression): به کسری گفته میشود که صورت و مخرج آن چندجملهای باشند و متغیر در هیچیک از حالتهای خاص مانند زیر رادیکال یا داخل قدر مطلق ظاهر نشود.
2چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری متشکل از تعدادی جمله که در هر جمله، متغیر (در صورت وجود) به توان یک عدد صحیح نامنفی رسیده و در یک عدد ثابت (ضریب) ضرب شده است. مثال: $3x^2 - 2x + 5$.
3دامنهٔ تعریف (Domain): مجموعه همهٔ مقادیر مجازی که میتوان به جای متغیر در یک عبارت قرار داد و عبارت به ازای آن مقادیر، دارای یک مقدار حقیقی مشخص باشد.
4اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعه همهٔ اعداد روی محور اعداد که شامل اعداد گویا (مانند $\frac{2}{3}$) و اعداد گنگ (مانند $\sqrt{2}$) میشود.
