مضرب: از ضرب ساده تا کشف روابط پنهان اعداد
مضرب چیست؟ تعریف و مفهوم پایهای
مضرب یک عدد (یا عبارت جبری)، نتیجهی ضرب آن عدد در هر یک از اعداد طبیعی3 است. به عبارت دیگر، اگر عددی مانند $a$ را در اعداد $1, 2, 3, \dots$ ضرب کنیم، حاصلضربهای بهدستآمده، مضارب $a$ هستند. برای مثال، مضارب عدد $4$ عبارتند از: $4, 8, 12, 16, 20, \dots$. توجه کنید که مجموعهی مضارب هر عدد (به جز صفر) نامتناهی است، زیرا اعداد طبیعی بینهایت هستند.عبارت جبری $2x$ را در نظر بگیرید. اگر این عبارت را در اعداد طبیعی ضرب کنیم، مضارب آن به دست میآید:
- $2x \times 1 = 2x$
- $2x \times 2 = 4x$
- $2x \times 3 = 6x$
- $2x \times 4 = 8x$ و الی آخر.
روشهای تشخیص و محاسبهی مضارب یک عدد
برای پیدا کردن مضارب یک عدد، سادهترین راه، ضرب کردن متوالی آن عدد در اعداد طبیعی $1, 2, 3, \dots$ است. اما گاهی اوقات سوال این است که چگونه تشخیص دهیم یک عدد مفروض، مضرب عدد دیگری هست یا خیر. برای این کار از عمل تقسیم استفاده میکنیم. اگر عدد $b$ بر عدد $a$ تقسیم شود و باقیماندهی تقسیم صفر باشد، آنگاه $b$ یک مضرب از $a$ است. به عبارت دیگر:$b$ مضرب $a$ است، اگر و تنها اگر یک عدد طبیعی مانند $k$ وجود داشته باشد به طوری که:
$56 \div 7 = 8$ و باقیمانده $0$ است. بنابراین بله، $56$ مضرب $7$ است (زیرا $7 \times 8 = 56$).
کاربرد عملی مضرب در مسائل روزمره و ریاضی
مفهوم مضرب تنها محدود به کتاب ریاضی نیست و در زندگی روزمره کاربردهای فراوانی دارد. در ادامه به چند نمونه اشاره میکنیم:- برنامهریزی زمانی فرض کنید اتوبوس خط واحد الف، هر $15$ دقیقه یک بار و اتوبوس خط ب، هر $20$ دقیقه یک بار از ایستگاه مبدأ حرکت کنند. اگر هر دو اتوبوس ساعت $8:00$ صبح با هم حرکت کنند، اولین بار چه ساعتی دوباره با هم حرکت خواهند کرد؟ پاسخ، کوچکترین مضرب مشترک ($15$ و $20$) است که $60$ دقیقه بعد، یعنی ساعت $9:00$ خواهد بود.
- تقسیم منصفانه میخواهیم $24$ عدد شکلات و $36$ عدد بیسکویت را به تعدادی کیسه بهطور مساوی تقسیم کنیم به طوری که در هر کیسه تعداد شکلاتها و بیسکویتها برابر باشد. تعداد کیسهها باید مقسومعلیه مشترک هر دو عدد باشد. اما اگر بخواهیم بدانیم حداقل تعداد کل شکلات و بیسکویتی که میتوان خرید تا بتوانیم آنها را به تعداد مساوی بین چند نفر تقسیم کنیم، از مضرب مشترک استفاده میکنیم.
- الگوهای تکراری در طبیعت، ضربآهنگها و الگوهای تکراری مانند چینش گلبرگهای گل، یا ساختار بلورها نیز با مفاهیم مضرب و اعداد طبیعی گره خورده است.
| ویژگی | مضرب (Multiple) | مقسومعلیه (Divisor) |
|---|---|---|
| تعریف | حاصل ضرب یک عدد در اعداد طبیعی | عددی که عدد مورد نظر بر آن بخشپذیر است |
| رابطه با عدد اصلی | از عدد اصلی بزرگتر یا مساوی آن است (برای اعداد طبیعی مثبت) | از عدد اصلی کوچکتر یا مساوی آن است |
| مثال با عدد $12$ | $12, 24, 36, 48, \dots$ | $1, 2, 3, 4, 6, 12$ |
| تعداد | نامتناهی | متناهی |
چالشهای مفهومی دربارهی مضرب
۱. آیا عدد $0$ را میتوان مضرب هر عددی در نظر گرفت؟
از نظر تئوری، بله. زیرا اگر $a$ هر عددی باشد، داریم $a \times 0 = 0$. پس $0$ یک مضرب از $a$ محسوب میشود. اما در کاربردهای معمول ریاضی در سطح مدرسه و زمانی که از «مضارب یک عدد» صحبت میکنیم، معمولاً منظور مضارب مثبت (غیرصفر) است تا مجموعهی مضارب برای اعداد مختلف متمایز و مفید باشد، بهویژه در بحث کوچکترین مضرب مشترک.
۲. آیا ممکن است یک عدد، مضرب خودش نباشد؟
خیر. هر عدد (غیر از صفر) همواره مضرب خودش است، زیرا داریم $a \times 1 = a$. بنابراین $a$ اولین مضرب خودش محسوب میشود.
۳. کوچکترین مضرب مشترک (ک.م.م) دو عدد چگونه تعریف میشود و چه ارتباطی با مضرب دارد؟
کوچکترین مضرب مشترک دو عدد، همان طور که از نامش پیداست، کوچکترین عدد مثبتی است که مضرب هر دو عدد باشد. برای مثال، برای اعداد $6$ و $8$، مضارب $6$ عبارتند از $6, 12, 18, 24, 30, \dots$ و مضارب $8$ عبارتند از $8, 16, 24, 32, \dots$. کوچکترین عددی که در هر دو لیست مشترک است، $24$ میباشد. پس $\mathrm{ك.م.م}(6, 8) = 24$.
پاورقی
1 - مضرب (Multiple): به عددی گفته میشود که از ضرب یک عدد معین در یک عدد صحیح (معمولاً طبیعی) به دست آمده باشد. به عبارت دیگر، عدد $b$ مضرب عدد $a$ است اگر عدد صحیحی مانند $k$ وجود داشته باشد که $b = k \times a$.
2 - ک.م.م (LCM - Least Common Multiple): کوچکترین مضرب مشترک دو یا چند عدد، کوچکترین عدد مثبتی است که بر همه آن اعداد بخشپذیر باشد.
3 - اعداد طبیعی (Natural Numbers): اعدادی هستند که برای شمارش به کار میروند. در این مقاله منظور از اعداد طبیعی، مجموعه $\{1, 2, 3, 4, \dots\}$ است.
