اتحاد مکعب تفاضل: تحلیل جامع رابطه (a-b)3
۱. تعریف و ساختار اتحاد مکعب تفاضل
اتحاد مکعب تفاضل که گاهی به عنوان «مکعب دوجملهای نوع دوم» نیز شناخته میشود، بیان میکند که مکعب یک عبارت تفاضلی (a–b) برابر است با:
$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $در این رابطه a و b میتوانند هر عدد، متغیر یا عبارت جبری باشند. ساختار این اتحاد از یک الگوی ضریبهای متقارن پیروی میکند. ضرایب 1, 3, 3, 1 که در اینجا به صورت 1، -3، +3 و -1 ظاهر میشوند، در حقیقت همان ضرایب بسط دوجملهای نیوتن برای توان 3 هستند که با توجه به علامت منفی بین دو جمله، علامتها به صورت متناوب مثبت و منفی ظاهر میشوند.
برای درک بهتر، میتوانیم این اتحاد را به صورت گستردهتر نیز بنویسیم:
$ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $۲. اثبات اتحاد: از ضرب مستقیم تا استدلال هندسی
یکی از بهترین راهها برای اطمینان از صحت یک فرمول جبری، اثبات آن از طریق عملیات ضرب مستقیم است. برای اثبات اتحاد مکعب تفاضل، میتوانیم از تعریف مکعب به عنوان حاصلضرب یک عبارت در مربع آن استفاده کنیم.
روش جبری (ضرب مستقیم):
میدانیم که $ (a-b)^3 = (a-b) \times (a-b)^2 $. ابتدا مربع تفاضل را محاسبه میکنیم:
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $سپس این عبارت را در (a-b) ضرب میکنیم:
$ (a-b)(a^2 - 2ab + b^2) $با انجام ضرب توزیعی (هر جملهی a و -b در تمام جملات داخل پرانتز):
$ = a \cdot a^2 - a \cdot 2ab + a \cdot b^2 - b \cdot a^2 + b \cdot 2ab - b \cdot b^2 $ $ = a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3 $جملات مشابه را با هم ترکیب میکنیم:
$ = a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 $ $ = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $بدین ترتیب، اتحاد مورد نظر به اثبات میرسد.
۳. تفسیر هندسی اتحاد مکعب تفاضل
برای درک عمیقتر این اتحاد، میتوانیم آن را از منظر هندسی و حجم یک مکعب بررسی کنیم. فرض کنید یک مکعب بزرگ با ضلع a داریم. حال از یکی از گوشههای آن یک مکعب کوچکتر با ضلع b (که از a کوچکتر است) جدا میکنیم. حجم باقیمانده، برابر با a3 – b3 نیست، بلکه به دلیل اشکال بوجود آمده در وجوه، باید سه مکعبمستطیل دیگر را نیز در نظر بگیریم. این اتحاد نشان میدهد که حجم نهایی چگونه از ترکیب اجزای مختلف به دست میآید. حجم باقیمانده پس از بریدن مکعب b3 را میتوان به سه دسته تقسیم کرد:
- سه مکعبمستطیل به ابعاد a × a × b (با حجم a2b) که از وجوه مختلف جدا شدهاند. اما در محاسبه حجم نهایی، این قسمتها یک بار بیش از حد کم شدهاند.
- سه مکعبمستطیل به ابعاد a × b × b (با حجم ab2) که باید دوباره به حجم اضافه شوند.
با این استدلال حجمی، میتوان دریافت که چرا ضرایب 3 در جملات ظاهر میشوند.
۴. جدول مقایسه: مکعب مجموع در برابر مکعب تفاضل
| ویژگی | اتحاد مکعب مجموع (a+b)3 | اتحاد مکعب تفاضل (a-b)3 |
|---|---|---|
| فرمول کلی | $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ |
| علامت جمله دوم | +3a2b | -3a2b |
| علامت جمله چهارم | +b3 | -b3 |
| الگوی علامتها | همه مثبت (+) | متناوب (+, -, +, -) |
۵. کاربرد عملی و مثالهای عددی
اتحاد مکعب تفاضل در بسیاری از مسائل جبری، فیزیک و هندسه کاربرد دارد. در ادامه چند مثال متنوع را بررسی میکنیم.
مثال ۱ (محاسبه مستقیم): حاصل عبارت $ (2x-1)^3 $ را به دست آورید.
با استفاده از اتحاد مکعب تفاضل، a=2x و b=1 را قرار میدهیم:
$ (2x-1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - (1)^3 $ $ = 8x^3 - 3(4x^2) + 6x - 1 $ $ = 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 $مثال ۲ (محاسبات عددی سریع): مقدار (19)3 را با استفاده از این اتحاد حساب کنید.
میتوانیم 19 را به صورت 20-1 بنویسیم. بنابراین:
$ (20-1)^3 = 20^3 - 3(20^2)(1) + 3(20)(1^2) - 1^3 $ $ = 8000 - 3(400) + 60 - 1 $ $ = 8000 - 1200 + 60 - 1 = 6859 $مثال ۳ (تجزیه عبارت): عبارت $ 27 - 27x + 9x^2 - x^3 $ را تجزیه کنید.
ابتدا عبارت را بر اساس توانهای نزولی x مرتب میکنیم: $ -x^3 + 9x^2 - 27x + 27 $. با فاکتور گرفتن علامت منفی: $ -(x^3 - 9x^2 + 27x - 27) $. حال عبارت داخل پرانتز شبیه به بسط (x-3)3 است زیرا $ x^3 - 3(x^2)(3) + 3(x)(3^2) - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27 $. بنابراین:
$ 27 - 27x + 9x^2 - x^3 = -(x-3)^3 $۶. چالشهای مفهومی و رفع ابهامات
❓ چالش ۱: آیا میتوانیم از اتحاد مکعب تفاضل برای اعداد منفی نیز استفاده کنیم؟
✅ پاسخ: بله، کاملاً. اتحاد برای همه اعداد حقیقی و مختلط معتبر است. اگر b منفی باشد، در واقع به فرم (a-(-c))3 = (a+c)3 تبدیل میشود و نتیجه به اتحاد مکعب مجموع بدل خواهد شد. برای مثال، (x-(-2))3 = (x+2)3.
❓ چالش ۲: چگونه میتوانیم از این اتحاد در حل معادلات درجه سه استفاده کنیم؟
✅ پاسخ: گاهی اوقات یک معادله درجه سه را میتوان به فرم (x-p)3 = q نوشت. با استفاده از اتحاد مکعب تفاضل، میتوانیم تشخیص دهیم که آیا یک عبارت چندجملهای، بسط یک مکعب تفاضل است یا خیر. برای این کار، ضرایب باید با الگوی 1, -3p, 3p2, -p3 مطابقت داشته باشند.
❓ چالش ۳: چرا نمیتوانیم به سادگی بگوییم (a-b)3 = a3 - b3؟
✅ پاسخ: این یک اشتباه رایج است. عمل توانرسانی بر روی تفاضل، خاصیت پخشیپذیری (توزیعپذیری) بر روی جمع و تفریق ندارد. به عبارت دیگر، (a-b)3 یک عبارت مرکب است و باید آن را به صورت ضرب تکراری (a-b)(a-b)(a-b) در نظر گرفت. جملات -3a2b و +3ab2 دقیقاً از همین ضرب تکراری ناشی میشوند و حذف آنها نادرست است. برای درک بهتر، یک مثال عددی کوچک بزنید: (5-2)3 = 33 = 27، در حالی که 53 - 23 = 125 - 8 = 117.
۷. جمعبندی و نکات کلیدی
- اتحاد مکعب تفاضل $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $ یک ابزار اساسی در جبر است.
- این اتحاد را میتوان از طریق ضرب مستقیم (a-b) در مربع آن اثبات کرد.
- ضرایب 1, 3, 3, 1 با علامتهای متناوب ظاهر میشوند.
- در کاربردهای عملی، از این اتحاد برای سادهسازی عبارات جبری، محاسبات سریع عددی و تجزیه چندجملهایها استفاده میشود.
- اشتباه رایج (a-b)3 = a3 - b3 است که باید از آن پرهیز کرد.
- درک هندسی این اتحاد (برش یک مکعب) به ماندگاری بیشتر مفهوم در ذهن کمک میکند.
پاورقی
1اتحاد (Identity): در ریاضیات، به یک برابری جبری که به ازای همه مقادیر ممکن متغیرها برقرار باشد، اتحاد میگویند. (معادل انگلیسی: Identity)
2دوجملهای (Binomial): عبارتی جبری که از دو جمله تشکیل شده باشد، مانند a-b. (معادل انگلیسی: Binomial)
3ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک جمله جبری در متغیر ضرب میشود، مانند عدد 3 در 3a2b. (معادل انگلیسی: Coefficient)
4تجزیه (Factorization): فرآیند بازنویسی یک عبارت به صورت حاصلضرب چند عامل. (معادل انگلیسی: Factorization)
5مکعبمستطیل (Rectangular Prism / Cuboid): شکلی سهبعدی با شش وجه مستطیلی. (معادل انگلیسی: Rectangular Prism)
