اتحاد مربع دو جملهای: از تجزیه تا کاربرد در حل مسائل
۱. مفهوم اتحاد و معرفی مربع دو جملهای
در جبر، اتحاد به تساویای گفته میشود که به ازای همه مقادیر ممکن متغیرها برقرار باشد. اتحاد مربع دو جملهای که گاهی به آن مربع مجموع و مربع تفاضل نیز گفته میشود، بیان میکند که مربع یک دو جملهای برابر است با مجموع مربع جمله اول و دوم بهعلاوه دو برابر حاصلضرب آنها. این اتحاد به دو صورت اصلی ظاهر میشود:
$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
برای درک بهتر، بیایید با یک مثال ساده شروع کنیم. فرض کنید میخواهیم حاصل $(3+4)^2$ را محاسبه کنیم. روش معمولی که دانشآموزان ابتدا یاد میگیرند این است که ابتدا جمع داخل پرانتز را انجام دهند: $3+4=7$ و سپس $7^2=49$. اما اتحاد مربع دو جملهای راه دوم را پیش روی ما میگذارد: $3^2 + 2(3)(4) + 4^2 = 9 + 24 + 16 = 49$. هر دو روش به یک نتیجه میرسند و این زیبایی اتحادها را نشان میدهد.
۲. اثبات هندسی اتحاد مربع دو جملهای
یکی از جذابترین راههای درک این اتحاد، استفاده از مساحت مربعها است. یک مربع با ضلع $a+b$ را در نظر بگیرید. مساحت این مربع برابر $(a+b)^2$ است. حال این مربع را میتوان به چهار بخش تقسیم کرد:
- یک مربع کوچک به ضلع $a$ با مساحت $a^2$
- یک مربع کوچک به ضلع $b$ با مساحت $b^2$
- دو مستطیل $a \times b$ که هر کدام مساحتی برابر $ab$ دارند
بنابراین مجموع مساحتها $a^2 + 2ab + b^2$ خواهد بود. این اثبات ساده، ارتباط عمیق بین جبر و هندسه را نشان میدهد.
۳. گسترش (a+b)² گام به گام
برای گسترش عبارت $(a+b)^2$، کافی است از قانون توزیعپذیری ضرب استفاده کنیم:
$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$
$= a(a+b) + b(a+b)$
$= a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b$
$= a^2 + ab + ba + b^2$
$= a^2 + 2ab + b^2$
مثال: عبارت $(2x+3y)^2$ را گسترش دهید.
حل: با استفاده از اتحاد داریم:
$(2x+3y)^2 = (2x)^2 + 2(2x)(3y) + (3y)^2$
$= 4x^2 + 12xy + 9y^2$
۴. گسترش (a-b)² گام به گام
برای اتحاد مربع تفاضل نیز به همین ترتیب عمل میکنیم:
$(a-b)^2 = (a-b)(a-b)$
$= a(a-b) - b(a-b)$
$= a\cdot a - a\cdot b - b\cdot a + b\cdot b$
$= a^2 - ab - ba + b^2$
$= a^2 - 2ab + b^2$
مثال: عبارت $(5p - 2q)^2$ را گسترش دهید.
حل:
$(5p-2q)^2 = (5p)^2 - 2(5p)(2q) + (2q)^2$
$= 25p^2 - 20pq + 4q^2$
۵. کاربرد عملی: محاسبات سریع ذهنی
یکی از کاربردهای جذاب این اتحاد، انجام محاسبات سریع ذهنی اعداد است. فرض کنید میخواهیم $103^2$ را حساب کنیم. میتوانیم آن را به صورت $(100+3)^2$ بنویسیم:
$103^2 = (100+3)^2 = 100^2 + 2(100)(3) + 3^2 = 10000 + 600 + 9 = 10609$
یا برای $98^2$:
$98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2(100)(2) + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$
این روش به ویژه در مسابقات ریاضی و تستهای کنکور بسیار مفید است.
۶. جدول مقایسه دو اتحاد اصلی
| اتحاد | فرمول گسترده | علامت جمله وسط | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| $(a+b)^2$ | $a^2+2ab+b^2$ | مثبت (+) | $(2+3)^2=4+12+9=25$ |
| $(a-b)^2$ | $a^2-2ab+b^2$ | منفی (-) | $(5-2)^2=25-20+4=9$ |
۷. کاربرد در فاکتورگیری و حل معادلات
اتحاد مربع دو جملهای نه تنها برای گسترش، بلکه برعکس برای فاکتورگیری (تجزیه) نیز کاربرد دارد. اگر با عبارتهایی مانند $x^2 + 6x + 9$ مواجه شویم، میتوانیم آن را به صورت مربع یک دو جملهای بنویسیم:
$x^2 + 6x + 9 = (x)^2 + 2(x)(3) + (3)^2 = (x+3)^2$
مثال: معادله $x^2 - 8x + 16 = 0$ را حل کنید.
حل: سمت چپ معادله یک مربع کامل است: $(x-4)^2 = 0$. بنابراین $x-4=0$ و $x=4$ (ریشه مضاعف).
۸. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا $(a+b)^2$ همیشه برابر $a^2+b^2$ است؟ چرا؟
✅ پاسخ: خیر. بسیاری از دانشآموزان مبتدی این اشتباه را مرتکب میشوند. اتحاد نشان میدهد که جمله $2ab$ نیز وجود دارد. تنها وقتی $a=0$ یا $b=0$ باشد این دو با هم برابرند.
❓ چالش ۲: چرا در اتحاد $(a-b)^2$ جمله وسط منفی است ولی $b^2$ مثبت میماند؟
✅ پاسخ: زیرا در حاصلضرب $(a-b)(a-b)$، دو بار عبارت $-ab$ تولید میشود که جمع آنها $-2ab$ میشود. اما $(-b)\times(-b)$ مثبت $+b^2$ را نتیجه میدهد.
❓ چالش ۳: چگونه میتوان تشخیص داد یک عبارت سه جملهای، مربع کامل است؟
✅ پاسخ: یک عبارت سه جملهای مانند $ax^2+bx+c$ مربع کامل است اگر:
۱. جمله اول و سوم مربع باشند ($\sqrt{a}$ و $\sqrt{c}$ عددی گویا باشند).
۲. جمله وسط برابر $\pm 2\sqrt{a}\sqrt{c}$ باشد.
۹. کاربرد در هندسه و مساحت
فرض کنید میخواهیم مساحت یک مربع را که ضلع آن $2x+1$ است، به صورت یک عبارت جبری بنویسیم. کافی است از اتحاد استفاده کنیم:
$S = (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
همچنین اگر مربعی به ضلع $y-3$ داشته باشیم، مساحت آن برابر $y^2 - 6y + 9$ خواهد بود. این کاربرد در طراحی و معماری نیز دیده میشود.
نکته پایانی: اتحاد مربع دو جملهای یکی از پایهایترین ابزارهای جبر است. تسلط بر آن نه تنها در گسترش و فاکتورگیری، بلکه در درک مفاهیم پیشرفتهتر مانند اتحادهای مکعب، معادلات درجه دوم و حتی هندسه تحلیلی کمک شایانی میکند. با تمرین مستمر، این اتحاد به یک مهارت همیشگی در حل مسائل ریاضی تبدیل خواهد شد.
پاورقیها
1اتحاد (Identity): در ریاضیات، تساویای که به ازای همه مقادیر مجاز متغیرها برقرار باشد.
2دو جملهای (Binomial): عبارتی جبری شامل دو جمله که با علامت جمع یا تفریق جدا شدهاند؛ مانند $a+b$ یا $2x-3y$.
3گسترش (Expansion): فرایند ضرب کردن و سادهسازی یک عبارت به صورت مجموع چند جمله.
4فاکتورگیری (Factorization): فرایند نوشتن یک عبارت به صورت حاصلضرب چند عامل.
