اتحاد مربع مجموع: (a+b)² = a² + 2ab + b²
۱. مفهوم و اثبات اتحاد مربع مجموع
اتحاد مربع مجموع بیان میکند که اگر یک عبارت دو جملهای $(a+b)$ را در خودش ضرب کنیم، نتیجه برابر است با مربع جمله اول، بعلاوه دو برابر حاصلضرب دو جمله، بعلاوه مربع جمله دوم. این رابطه یکی از اساسیترین اتحادهای "مربع کامل" است.
اثبات جبری: سادهترین راه برای اثبات این اتحاد، استفاده از خاصیت پخشی[2] ضرب بر روی جمع است:
$= a(a+b) + b(a+b)$
$= a^2 + ab + ba + b^2$
$= a^2 + 2ab + b^2$
اثبات هندسی: این اتحاد را میتوان به کمک مساحت یک مربع بزرگ نیز اثبات کرد. فرض کنید یک مربع با ضلع $a+b$ داریم. مساحت این مربع برابر $(a+b)^2$ است. حال اگر این مربع را به چهار قسمت تقسیم کنیم، خواهیم داشت:
- یک مربع کوچک به ضلع $a$ با مساحت $a^2$.
- یک مربع کوچک به ضلع $b$ با مساحت $b^2$.
- دو مستطیل به ابعاد $a$ و $b$ که مجموع مساحت آنها $2ab$ است.
جمع این چهار ناحیه، همان مساحت مربع بزرگ را میدهد که اثبات کننده اتحاد است.
۲. کاربرد در محاسبات عددی سریع
یکی از مفیدترین کاربردهای این اتحاد، انجام محاسبات ذهنی سریع است. با استفاده از این رابطه میتوانیم مربع اعداد بزرگ را به راحتی محاسبه کنیم. برای مثال، برای محاسبه $13^2$، عدد $13$ را به صورت $10+3$ مینویسیم:
$= 100 + 60 + 9 = 169$
این روش برای اعدادی مثل $15$ ($10+5$)، $21$ ($20+1$) یا $32$ ($30+2$) نیز بسیار کارآمد است.
۳. کاربرد در جبر و فاکتورگیری
اتحاد مربع مجموع در فرآیند فاکتورگیری و تکمیل مربع[3] نقش کلیدی دارد. بسیاری از معادلات درجه دوم با تشخیص الگوی $a^2 + 2ab + b^2$ به سادگی به شکل $(a+b)^2$ تبدیل میشوند.
مثال: عبارت $x^2 + 8x + 16$ را در نظر بگیرید. جمله اول $x^2$ است (یعنی $a=x$) و جمله آخر $16$ است (یعنی $b^2=16$ پس $b=4$). حالا بررسی میکنیم که آیا $2ab$ برابر $8x$ است یا خیر: $2 \times x \times 4 = 8x$. بله، برقرار است. بنابراین:
۴. کاربرد عملی: مثال از محیط زندگی
فرض کنید میخواهید برای اتاق خود یک فرش مربعی شکل بخرید. اگر طول هر ضلع اتاق $(a+b)$ متر باشد، مساحت فرش مورد نیاز شما $(a+b)^2$ خواهد بود. اگر اتاق از دو بخش با ابعاد $a$ و $b$ تشکیل شده باشد، میتوانید مساحت را به صورت مجموع مساحت دو مربع $a^2$ و $b^2$ و دو مستطیل $ab$ محاسبه کنید.
به عنوان یک مثال عددی، اگر اتاقی به ابعاد $5.5$ متر داشته باشیم ($a=5$ و $b=0.5$)، مساحت آن برابر است با:
$= 25 + 5 + 0.25 = 30.25$ متر مربع.
۵. جدول مقایسه: اتحاد مربع مجموع در مقابل اتحاد متمایز
| نام اتحاد | فرمول (LTR) | مثال عددی |
|---|---|---|
| مربع مجموع | $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ | $(2+3)^2 = 4+12+9=25$ |
| مربع تفاضل | $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ | $(5-2)^2 = 25-20+4=9$ |
| مزدوج (مربع تفاضل) | $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ | $25-9=(5+3)(5-3)=16$ |
۶. چالشهای مفهومی
پاسخ: این یک تصور نادرست رایج است. بسیاری تصور میکنند که توان بر روی جمع توزیع میشود، در حالی که چنین نیست. اتحاد مربع مجموع نشان میدهد که یک جمله اضافی به نام $2ab$ نیز وجود دارد. این جمله حاصل ضرب متقابل دو جمله است. برای اجتناب از این اشتباه، همیشه عبارت را به صورت ضریب جمله اول در جمله دوم بازنویسی کنید.
پاسخ: اگر $b$ منفی باشد، عملاً به اتحاد مربع تفاضل تبدیل میشود: $(a+(-b))^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. علامت جمله $2ab$ با توجه به علامت $a$ و $b$ تعیین میشود.
پاسخ: برای اعداد اعشاری، میتوان عدد را به صورت مجموع یک عدد صحیح و یک عدد اعشاری نوشت. مثال: $(3.4)^2 = (3 + 0.4)^2 = 9 + 2(3)(0.4) + 0.16 = 9 + 2.4 + 0.16 = 11.56$. این روش دقت محاسبه را افزایش میدهد.
پاورقیها
2خاصیت پخشی (Distributive Property): خاصیتی در ریاضیات که بر اساس آن ضرب بر روی جمع توزیع میشود: $a(b+c)=ab+ac$.
3تکمیل مربع (Completing the Square): روشی برای حل معادلات درجه دوم که در آن با استفاده از اتحاد مربع مجموع، یک عبارت درجه دوم به یک مربع کامل تبدیل میشود.
