تساوی رادیکالی: از تعریف تا کاربرد در معادلات گنگ
۱. ساختار یک تساوی رادیکالی و شرط اولیه دامنه
هر عبارت رادیکالی به شکل $\sqrt[n]{A}$ تعریف میشود که در آن $n$ فرجه و $A$زیر رادیکال نام دارد. مهمترین نکته در تساوی رادیکالی، توجه به فرجه است:- فرجه فرد – دامنهٔ عبارت رادیکالی تمام اعداد حقیقی است. مثلاً $\sqrt[3]{x}$ برای هر $x$ حقیقی تعریف میشود.
- فرجه زوج – عبارت زیر رادیکال باید نامنفی باشد. مثلاً $\sqrt{x}$ تنها وقتی معنا دارد که $x \ge 0$.
۲. روشهای حل معادلات رادیکالی
معادلهای که شامل یک یا چند عبارت رادیکالی باشد، «معادلهٔ رادیکالی» یا «معادلهٔ گنگ» نامیده میشود. مراحل استاندارد حل چنین معادلهای عبارت است از:- گام اول – تعیین دامنه: برای هر رادیکال با فرجهٔ زوج، شرط نامنفی بودن زیر رادیکال را مینویسیم.
- گام دوم – جداسازی رادیکال: یکی از عبارتهای رادیکال را در یک سمت معادله تنها میکنیم.
- گام سوم – حذف رادیکال: دو طرف معادله را به توان فرجه (معمولاً $2$) میرسانیم.
- گام چهارم – حل معادلهٔ حاصل: معادلهٔ جدید (که اکنون چندجملهای یا گویا است) را حل میکنیم.
- گام پنجم – بررسی در دامنه: جوابهای بهدستآمده را در شرط دامنه و معادلهٔ اصلی آزمایش میکنیم (رد ریشههای اضافی).
۱. دامنه: $2x+5 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2.5$.
۲. رادیکال تنها است.
۳. دو طرف را به توان $2$ میرسانیم: $2x+5 = (x-5)^2 \Rightarrow 2x+5 = x^2 -10x +25$.
۴. ترتیب میدهیم: $0 = x^2 -12x +20 \Rightarrow (x-2)(x-10)=0$ ⇒ $x=2$ یا $x=10$.
۵. بررسی: $x=2$ در دامنه است ولی در معادلهٔ اصلی: $\sqrt{2(2)+5}= \sqrt{9}=3$ و $2-5=-3$ ⇒ $3 = -3$ نادرست (ریشهٔ اضافی). برای $x=10$: $\sqrt{25}=5$ و $10-5=5$ درست است. پس تنها جواب $x=10$ است.
۳. اتحادهای رادیکالی و سادهسازی عبارتها
گاهی تساوی رادیکالی نه به صورت معادله، بلکه به صورت یک اتحاد ظاهر میشود. برای نمونه، اتحاد $\sqrt{x^2} = |x|$ یکی از مهمترین آنهاست. جدول زیر برخی از این اتحادها را نشان میدهد:| اتحاد | شرط برقراری | مثال عددی |
|---|---|---|
| $\sqrt{x^2}=|x|$ | $x \in \mathbb{R}$ | $\sqrt{(-3)^2}=3=|-3|$ |
| $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$ | $x \ge 0,\; y \ge 0$ | $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}= \sqrt{16}=4$ |
| $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = \sqrt{\frac{x}{y}}$ | $x \ge 0,\; y \gt 0$ | $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9}=3$ |
۴. کاربرد عملی: بهکارگیری تساوی رادیکالی در هندسه
یکی از کاربردهای رایج تساوی رادیکالی در روابط هندسی و به ویژه قضیهٔ فیثاغورس است. مثلث قائمالزاویهای با اضلاع $a$ و $b$ و وتر $c$ را در نظر بگیرید. رابطهٔ $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ یک تساوی رادیکالی است. اگر اندازهٔ وتر داده شود و یکی از اضلاع مجهول باشد، با معادلهٔ رادیکالی طرفیم. مثال: در یک مثلث قائمالزاویه، وتر $13$ متر و یک ضلع $5$ متر است. ضلع دیگر را بیابید.رابطه: $13 = \sqrt{5^2 + x^2}$. با مجذور کردن: $169 = 25 + x^2 \Rightarrow x^2 = 144 \Rightarrow x = \pm 12$. از آنجا که طول منفی معنا ندارد، $x = 12$ متر پاسخ است.
۵. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: چرا پس از مجذور کردن معادله، ریشهٔ اضافی ظاهر میشود؟
عمل مجذور کردن دو طرف معادله، یک عمل برگشتناپذیر است. اگر $A = B$ آنگاه $A^2 = B^2$ همواره برقرار است، ولی عکس آن درست نیست؛ یعنی از $A^2 = B^2$ نمیتوان نتیجه گرفت $A = B$، زیرا ممکن است $A = -B$ باشد. به همین دلیل ریشههای حاصل از معادلهٔ مجذور شده باید در معادلهٔ اصلی آزمایش شوند.
❓ چالش ۲: آیا $\sqrt{x^2} = x$ یک اتحاد است؟
خیر. این عبارت تنها برای $x \ge 0$ برقرار است. اگر $x$ منفی باشد، طرف چپ همواره نامنفی (مثلاً $3$) و طرف راست منفی (مثلاً $-3$) خواهد بود. شکل صحیح اتحاد $\sqrt{x^2} = |x|$ است.
❓ چالش ۳: چگونه میتوان معادلهای با دو رادیکال را حل کرد؟
روش کار جداسازی یکی از رادیکالها، مجذور کردن، سادهسازی و سپس جداسازی رادیکال باقیمانده و مجذور کردن مجدد است. این کار ممکن است تا چهار بار تکرار شود. در هر مرحله باید دامنه را بهروز کرد و در پایان همهٔ جوابها را در معادلهٔ اصلی آزمود. نمونه: معادلهٔ $\sqrt{x+2} + \sqrt{x-1} = 4$ با دو بار مجذور کردن قابل حل است.
پاورقی
1تساوی رادیکالی (Radical Equality): به تساویای گفته میشود که در آن حداقل یک طرف تساوی شامل عبارت رادیکال (ریشهدار) باشد. حل این نوع تساویها معمولاً مستلزم تعیین دامنه و حذف رادیکال با توان رسانی است.
2معادلهٔ گنگ (Irrational Equation): معادلهای که متغیر در آن زیر رادیکال قرار گیرد. روش استاندارد حل آن حذف رادیکال از طریق توانرسانی و سپس بررسی جوابها در معادلهٔ اصلی است.
3ریشهٔ اضافی (Extraneous Root): جوابی که در فرایند حل (معمولاً پس از مجذور کردن) به دست میآید ولی در معادلهٔ اصلی صدق نمیکند. علت آن غیرقابل برگشت بودن عمل توانرسانی است.
