بامعنی بودن رادیکال: تعریف‌پذیر بودن ریشه در اعداد حقیقی که به صفر نبودن مخرج و نامنفی بودن زیر ریشه‌های زوج وابسته است

بامعنی بودن رادیکال: شرط نامنفی برای ریشه‌های زوج

فرجهٔ زوج و فرد: خط قرمز اصلی رادیکال‌ها

مهم‌ترین نکته در تعیین دامنهٔ یک عبارت رادیکالی، توجه به زوج یا فرد بودن فرجه (ریشه) است. این ویژگی تعیین می‌کند که آیا رادیکال‌شونده می‌تواند عددی منفی باشد یا خیر.

• ریشهٔ زوج (مانند $\sqrt{}$, $\sqrt[4]{}$) : برای اینکه حاصل این ریشه در مجموعه اعداد حقیقی تعریف شود (بامعنی باشد)، عبارت زیر رادیکال باید بزرگتر یا مساوی صفر باشد. دلیل آن هم این است که هیچ عدد حقیقی (اعم از مثبت و منفی) وجود ندارد که توان زوج آن به یک عدد منفی برسد. به عبارت دیگر، اگر $n$ زوج باشد، آن‌گاه $x = \sqrt[n]{a}$ تنها وقتی در $\mathbb{R}$ معنا دارد که $a \ge 0$ باشد. در این صورت $x$ نیز عددی نامنفی خواهد بود.
• ریشهٔ فرد (مانند $\sqrt[3]{}$, $\sqrt[5]{}$) : برای ریشه‌های فرد، دامنهٔ تعریف همهٔ اعداد حقیقی است. یعنی عبارت زیر رادیکال می‌تواند مثبت، صفر یا منفی باشد. علت آن است که اعداد منفی نیز ریشهٔ فرد دارند؛ برای مثال $\sqrt[3]{-8} = -2$ زیرا $(-2)^3 = -8$.

مثال کاربردی: عبارت $\sqrt{x-2}$ را در نظر بگیرید. از آنجایی که فرجه (که نانوشته است و برابر $2$ می‌باشد) زوج است، باید $x-2 \ge 0$ باشد. پس دامنهٔ تعریف عبارت $[2, +\infty)$ است. اما اگر عبارت $\sqrt[3]{x-2}$ باشد، فرجه فرد است و دامنه همهٔ اعداد حقیقی خواهد بود.

رادیکال در مخرج کسر: شرط اضافی صفر نبودن

هنگامی که یک عبارت رادیکالی در مخرج کسری قرار می‌گیرد، علاوه بر شرط نامنفی بودن برای ریشه‌های زوج، یک محدودیت دیگر نیز اضافه می‌شود: مخرج کسر هرگز نباید صفر باشد. صفر در مخرج کسر را تعریف‌نشده³ می‌نامیم. برای تعیین دامنه توابعی که شامل رادیکال در مخرج هستند، باید به ترتیب زیر عمل کنیم:

1. ابتدا شرایط رادیکال را بررسی می‌کنیم (برای ریشه‌های زوج: عبارت زیر رادیکال $\ge 0$، برای ریشه‌های فرد: هیچ شرطی ندارد).
2. سپس شرط مخالف صفر بودن کل مخرج را اعمال می‌کنیم.
3. دامنهٔ نهایی، اشتراک شرایط به‌دست‌آمده است.

مثال گام‌به‌گام: دامنهٔ تابع $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x-3}}$ را به‌دست آورید.

• گام ۱: رادیکال $\sqrt{x-3}$ دارای فرجهٔ زوج (۲) است، پس باید $x-3 \ge 0$ یا $x \ge 3$ باشد.
• گام ۲: این رادیکال در مخرج کسر قرار دارد، بنابراین نباید صفر باشد. یعنی $\sqrt{x-3} \neq 0$. با مجذور کردن دو طرف (چون طرفین نامنفی هستند) داریم: $x-3 \neq 0$ یا $x \neq 3$.
• گام ۳: اشتراک دو شرط $x \ge 3$ و $x \neq 3$، بازهٔ $(3, +\infty)$ را به ما می‌دهد.

کاربرد در حل معادلات و نامعادلات رادیکالی

شرایط معناداری رادیکال‌ها، نقش کلیدی در حل معادلات و نامعادلات دارند. اغلب دانش‌آموزان پس از حل جبری یک معادلهٔ رادیکالی، فراموش می‌کنند که جواب‌های به‌دست‌آمده را در شرط اولیهٔ رادیکال (به‌ویژه برای ریشه‌های زوج) بررسی کنند. به این کار، «تعیین جواب‌های قابل قبول» می‌گویند. برای مثال، معادلهٔ $\sqrt{2x+3} = x$ را در نظر بگیرید.

1. شرط اول (معناداری رادیکال): چون فرجه زوج است، باید $2x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{3}{2}$.
2. حل معادله: با مجذور کردن دو طرف داریم: $2x+3 = x^2 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0$ که جواب‌ها $x=3$ و $x=-1$ هستند.
3. بررسی: هر دو جواب شرط اول ($x \ge -1.5$) را ارضا می‌کنند. اما باید آن‌ها را در معادلهٔ اصلی نیز امتحان کنیم (چون ممکن است با مجذور کردن، جواب‌های اضافی پدید آیند). با جایگذاری، $x=3$ جواب صحیح است ($\sqrt{9}=3$). برای $x=-1$ داریم: $\sqrt{1} = -1$ که نادرست است، زیرا ریشهٔ دوم مثبت تعریف می‌شود. بنابراین تنها جواب $x=3$ است.

جدول مقایسه: شرایط دامنه توابع رادیکالی

چالش‌های مفهومی

پاورقی‌ها

1. عبارت رادیکال (Radical Expression): به عبارتی گفته می‌شود که در آن عدد یا متغیری زیر علامت رادیکال ($\sqrt{}$) قرار می‌گیرد.
2. نامنفی (Non-negative): به معنای بزرگتر یا مساوی صفر بودن یک کمیت است. (≥۰)
3. تعریف‌نشده (Undefined): در ریاضیات، به عبارتی گفته می‌شود که مقدار مشخصی نداشته باشد، مانند کسری که مخرج آن صفر است.