قانون جمع توانهای گویا
تعریف و شهود قاعده $a^{r+s}=a^r \times a^s$
قاعدهٔ جمع توانها یکی از اساسیترین قوانین در جبر است. این قاعده بیان میدارد که اگر پایهای مانند $a$ (که عددی مثبت فرض میشود) را به توان دو عدد گویا$^2$ مانند $r$ و $s$ برسانیم، حاصلضرب این دو توان برابر است با همان پایه به توان حاصلجمع دو عدد گویا: $a^{r+s}=a^r \times a^s$.
برای درک شهودی این قاعده، توان را به عنوان ضرب مکرر در نظر بگیرید. اگر $r$ و $s$ اعداد طبیعی باشند، این قاعده کاملاً واضح است: مثلاً $a^3 \times a^2 = (a \times a \times a) \times (a \times a) = a^5 = a^{3+2}$. اما زمانی که $r$ و $s$ اعداد گویا (یعنی کسری) باشند، مفهوم «ضرب مکرر» به تنهایی کافی نیست و باید از تعریف ریشههای اعداد کمک گرفت.
گامهای اثبات برای توانهای گویا
اثبات این قانون برای اعداد گویا معمولاً در دو گام اصلی انجام میشود: ابتدا برای توانهای کسری با صورت $1$ و سپس برای حالت کلی.
گام اول: اثبات برای $a^{\frac{1}{m}}$
میدانیم $a^{\frac{1}{m}}$ به عنوان ریشهٔ $m$-ام $a$ تعریف میشود، یعنی عددی که اگر $m$ بار در خودش ضرب شود، $a$ به دست میآید. با این حساب، داریم:
$(a^{\frac{1}{m}})^m = a$. همچنین میتوان نشان داد که $a^{\frac{1}{m}} \times a^{\frac{1}{n}} = a^{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}$.
گام دوم: اثبات برای $a^{\frac{p}{q}}$
هر عدد گویا مانند $r$ را میتوان به صورت $r = \frac{p}{q}$ نوشت. با استفاده از تعریف $a^{\frac{p}{q}} = (a^{\frac{1}{q}})^p$ و قانون ضرب توانهای صحیح، میتوان به رابطهٔ کلی رسید.
کاربرد عملی: حل مثالهای گامبهگام
در این بخش با چند مثال عددی، کاربرد قانون $a^{r+s}=a^r \times a^s$ را بررسی میکنیم.
حل: طبق قانون، داریم: $2^{\frac{3}{2}} \times 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2} = 4$.
حل:$9^{\frac{1}{3}} \times 9^{\frac{5}{6}} = 9^{\frac{1}{3} + \frac{5}{6}} = 9^{\frac{2}{6} + \frac{5}{6}} = 9^{\frac{7}{6}}$.
حل:$4^{1.5} \times 4^{-0.5} = 4^{1.5 + (-0.5)} = 4^{1} = 4$.
جدول مقایسه: توانهای گویا در مقابل توانهای طبیعی
| ویژگی | توان طبیعی ($n \in \mathbb{N}$) | توان گویا ($r \in \mathbb{Q}$) |
|---|---|---|
| معنی | ضرب مکرر پایه در خودش | ریشهگیری و توانرسانی ترکیبی |
| مثال | $a^3 = a \times a \times a$ | $a^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{a^2}$ |
| قاعده جمع توانها | همیشه برقرار است | با شرط $a>0$ برقرار است |
چالشهای مفهومی
پاسخ زیرا اگر $a$ منفی باشد، توانهای کسری با مخرج زوج (مانند $a^{\frac{1}{2}}$) در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نمیشوند. برای مثال، $(-4)^{\frac{1}{2}}$ معنی ندارد.
پاسخ بله، این قانون برای اعداد حقیقی (شامل اعداد گنگ) نیز با استفاده از حد و تقریب زدن با اعداد گویا تعریف و اثبات میشود. اما اثبات آن نیازمند مفاهیم پیشرفتهتر آنالیز ریاضی است.
پاسخ اگر $a \neq 0$، داریم $a^{0} \times a^{0} = 1 \times 1 = 1$ و $a^{0+0}=a^{0}=1$. پس قانون برقرار است. اما اگر $a=0$ باشد، $0^{0}$ یک حالت نامعلوم است.
پاورقیها
1توان گویا (Rational Exponent): توانی که خود یک عدد گویا است، یعنی میتوان آن را به صورت نسبت دو عدد صحیح $\frac{p}{q}$ (با $q \neq 0$) نوشت. به عنوان مثال، $2^{\frac{1}{2}}$ و $5^{-\frac{3}{4}}$.
2عدد گویا (Rational Number): به عددی گفته میشود که بتوان آن را به صورت کسر $\frac{a}{b}$ نوشت، که در آن $a$ و $b$ اعداد صحیح بوده و $b \neq 0$ است.
