توان با نمای کسری: پلی از جذر تا توانهای غیرصحیح
۱. از توان صحیح تا توان کسری: چرا به سراغ کسرها میرویم؟
همه ما با توانهای صحیح آشنا هستیم: $a^3 = a \times a \times a$ یا $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$. اما اگر نما کسری باشد، مثلاً $a^{\frac{1}{2}}$ چه معنایی دارد؟ آیا میتوان یک عدد را نصف دفعه در خودش ضرب کرد؟ طبیعتاً خیر. برای پاسخ به این پرسش، به سراغ ریشهها میرویم. میدانیم که $\sqrt{a}$ عددی است که اگر در خودش ضرب شود، $a$ به دست میآید. حال این سؤال پیش میآید: آیا میتوانیم $\sqrt{a}$ را به صورت یک توان نمایش دهیم؟ ریاضیدانان برای حفظ یکپارچگی قواعد توانها، قرارداد زیر را وضع کردند:
برای درک بهتر، مثالی ساده میزنیم. فرض کنید میخواهیم مقدار $8^{\frac{2}{3}}$ را به دست آوریم. طبق تعریف، ابتدا ریشهی سوم $8$ را حساب میکنیم: $\sqrt[3]{8}=2$. سپس عدد $2$ را به توان $2$ میرسانیم: $2^2 = 4$. بنابراین $8^{\frac{2}{3}} = 4$. توجه کنید که ترتیب عملیات مهم نیست و میتوانستیم ابتدا به توان $2$ برسانیم و سپس ریشه بگیریم: $\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$. این ویژگی نشاندهندهی انعطافپذیری این تعریف است.
۲. قوانین حاکم بر توانهای کسری
خوشبختانه تمام قوانینی که برای توانهای صحیح میشناسیم، برای توانهای کسری نیز برقرار هستند. این قوانین شامل ضرب و تقسیم توانها، توان به توان و توان حاصلضرب و تقسیم میشوند. در جدول زیر مهمترین این قوانین را با ذکر یک مثال برای هر کدام مرور میکنیم:
| قانون | فرمول کلی (a,b>0) | مثال عددی |
|---|---|---|
| ضرب توانها با پایه یکسان | $a^{\frac{m}{n}} \times a^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} + \frac{p}{q}}$ | $4^{\frac{1}{2}} \times 4^{\frac{3}{2}} = 4^{2} = 16$ |
| تقسیم توانها با پایه یکسان | $\frac{a^{\frac{m}{n}}}{a^{\frac{p}{q}}} = a^{\frac{m}{n} - \frac{p}{q}}$ | $\frac{9^{\frac{3}{2}}}{9^{\frac{1}{2}}} = 9^{1} = 9$ |
| توان یک توان | $(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}$ | $(8^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{2}} = 8^{1} = 8$ |
| توان حاصلضرب | $(ab)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} \cdot b^{\frac{m}{n}}$ | $(4 \times 9)^{\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} \times 9^{\frac{1}{2}} = 2 \times 3 = 6$ |
| توان تقسیم | $(\frac{a}{b})^{\frac{m}{n}} = \frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}}$ | $(\frac{16}{81})^{\frac{3}{4}} = \frac{16^{\frac{3}{4}}}{81^{\frac{3}{4}}} = \frac{8}{27}$ |
۳. کاربرد عملی: از رشد باکتریها تا نرخ بهرهی مرکب
توانهای کسری صرفاً یک بازی ریاضی نیستند؛ در دنیای واقعی کاربردهای فراوانی دارند. به عنوان مثال، در مدلهای رشد جمعیت یا رشد باکتریها، گاهی نرخ رشد به صورت کسری از زمان بیان میشود. فرض کنید جمعیت یک باکتری پس از $t$ ساعت از رابطهی $P(t) = P_0 \cdot 2^{\frac{t}{3}}$ پیروی کند. این بدان معناست که هر $3$ ساعت، جمعیت دو برابر میشود. برای محاسبهی جمعیت پس از $1.5$ ساعت، باید $2^{\frac{1.5}{3}} = 2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41$ را محاسبه کنیم که نشاندهندهی افزایش $41\%$ی است.
در فیزیک، بسیاری از فرمولها شامل ریشههای دوم و سوم هستند که معادل توانهای کسری $\frac{1}{2}$ و $\frac{1}{3}$ میباشند. برای نمونه، دوره تناوب یک آونگ ساده از رابطه $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ به دست میآید که در آن $\sqrt{\frac{L}{g}}$ در واقع $(\frac{L}{g})^{\frac{1}{2}}$ است.
در امور مالی و محاسبهی بهرهی مرکب، اگر نرخ سالانه $r$ باشد و سود هر $n$ ماه یک بار مرکب شود، فرمول ارزش آینده به صورت $A = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}$ خواهد بود. در اینجا نیز نما میتواند کسری باشد، مثلاً برای دورههای کمتر از یک سال.
۴. چالشهای مفهومی
پاسخ: برای $a=0$ با $m>0$ تعریف میشود و مقدار آن $0$ است (چون ریشهی $n$ام صفر، صفر است). اما برای $a \lt 0$ موضوع پیچیدهتر میشود. اگر $n$ فرد باشد، ریشهی $n$ام یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی تعریف میشود (مثلاً $\sqrt[3]{-8} = -2$) و در نتیجه توان کسری قابل محاسبه است. اما اگر $n$ زوج باشد، ریشهی زوج یک عدد منفی در اعداد حقیقی تعریف نشده است. به همین دلیل، در سطح دبیرستان و برای جلوگیری از ابهام، معمولاً شرط $a>0$ را برای توانهای کسری در نظر میگیریم.
پاسخ: خیر، طبق تعریف و قوانین توانها، این دو با هم برابر هستند. $a^{\frac{m}{n}}$ را میتوانیم هم به صورت $(a^{\frac{1}{n}})^m$ و هم به صورت $(a^m)^{\frac{1}{n}}$ تفسیر کنیم. انتخاب هر کدام از این دو روش میتواند محاسبات را در برخی موارد سادهتر کند. برای مثال، برای محاسبهی $32^{\frac{2}{5}}$، روش اول $(\sqrt[5]{32})^2 = (2)^2 = 4$ است، در حالی که روش دوم $\sqrt[5]{32^2} = \sqrt[5]{1024} = 4$ را نتیجه میدهد.
پاسخ: برای $a>0$ خیر، مقدار تغییر نمیکند. برای مثال $4^{\frac{2}{4}}$ را در نظر بگیرید. اگر ساده کنیم، $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ و $4^{\frac{1}{2}} = 2$. از طرف دیگر طبق تعریف اصلی: $4^{\frac{2}{4}} = (4^{\frac{1}{4}})^2 = (\sqrt[4]{4})^2$. میدانیم $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$، پس $(\sqrt{2})^2 = 2$. بنابراین هر دو یک نتیجه دارند. این ویژگی به ما اطمینان میدهد که توان کسری، یک تابع[۳] خوشتعریف از نما است.
پاورقیها
۱توان کسری (Fractional Exponent): به توانی گفته میشود که خود یک عدد کسری (گویا) باشد. مانند $x^{\frac{2}{3}}$.
۲رادیکال (Radical): نماد $\sqrt[n]{a}$ که نشاندهندهی ریشهی $n$ام عدد $a$ است.
۳تابع (Function): رابطهای که به هر ورودی (از دامنه) دقیقاً یک خروجی (در برد) نسبت میدهد.
