قانون توانِ توان برای نماهای گویا
آشنایی با قاعده توانگیری مجدد از یک عدد تواندار و اثبات آن برای اعداد گویا به همراه مثالهای متنوع
در این مقاله با قانون توانِ توان (Power of a Power Rule) برای حالتی آشنا میشویم که توانها اعداد گویا (کسری) هستند. این قانون که به صورت $(a^r)^s = a^{rs}$ نمایش داده میشود، زیربنای بسیاری از عملیات جبری در ریاضیات دبیرستانی است. با استفاده از این قاعده، محاسبات تواندار سادهتر شده و درک عمیقتری از مفهوم ریشه و توان به دست میآید. در این مقاله به تعریف، اثبات، مثالهای متنوع و چالشهای مفهومی مرتبط با این قانون میپردازیم.
مفهوم توان گویا و ریشهها
پیش از پرداختن به قانون توانِ توان، باید یادآوری کنیم که منظور از توان گویا1 چیست. اگر $a$ یک عدد مثبت و $\frac{m}{n}$ یک عدد گویا (با $n \neq 0$) باشد، آنگاه تعریف میکنیم:
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$
به عبارت دیگر، صورت کسر ($m$) نشاندهندهٔ توان و مخرج ($n$) نشاندهندهٔ فرجهٔ ریشه است. این تعریف به ما اجازه میدهد تا توانهای کسری را به شکل رادیکالی بنویسیم و بالعکس. برای مثال، $8^{\frac{2}{3}}$ یعنی $(\sqrt[3]{8})^2$ که برابر $2^2 = 4$ است. درک این تعریف برای فهم قانون توانِ توان ضروری است.
قانون توانِ توان: از اعداد صحیح تا اعداد گویا
احتمالاً با قانون توانِ توان برای اعداد صحیح آشنا هستید: $(a^m)^n = a^{m \times n}$. این قانون میگوید اگر یک عدد تواندار را دوباره به توان برسانیم، کافی است توانها را در هم ضرب کنیم. سؤال اینجاست: آیا این قانون برای زمانی که $m$ و $n$ اعداد گویا (کسری) باشند نیز برقرار است؟ پاسخ مثبت است، به شرطی که پایه ($a$) یک عدد مثبت باشد. به این ترتیب، قانون به شکل کلی $(a^r)^s = a^{r s}$ (برای $r,s \in \mathbb{Q}$ و $a>0$) درمیآید. دلیل مثبت بودن $a$ این است که در توانهای گویا با ریشهگیری سروکار داریم و ریشههای زوج اعداد منفی در اعداد حقیقی تعریف نمیشوند.
نکته: برای اثبات این قانون برای اعداد گویا، میتوانیم از تعریف توان گویا و خواص رادیکالها استفاده کنیم. فرض کنید
$r = \frac{m}{n}$ و
$s = \frac{p}{q}$. آنگاه:
$(a^{\frac{m}{n}})^{\frac{p}{q}} = (\sqrt[n]{a^m})^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{(\sqrt[n]{a^m})^p} = \sqrt[q]{\sqrt[n]{a^{mp}}} = \sqrt[nq]{a^{mp}} = a^{\frac{mp}{nq}} = a^{\frac{m}{n} \cdot \frac{p}{q}}$
این تسلسل نشان میدهد که حاصلضرب توانها در نهایت به صورت یک توان گویا ظاهر میشود.
در اثبات بالا از دو قانون دیگر استفاده کردیم: $(\sqrt[n]{x})^p = \sqrt[n]{x^p}$ و $\sqrt[q]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[nq]{x}$. این قوانین نیز از تعریف ریشه ناشی میشوند.
کاربرد عملی: سادهسازی عبارات تواندار
قانون توانِ توان در سادهسازی عبارات جبری که دارای توانهای تودرتو هستند، بسیار کارآمد است. در ادامه چند مثال متنوع را بررسی میکنیم. دقت کنید که پایهها همگی مثبت در نظر گرفته شدهاند.
- مثال ۱ (اعداد ساده):$(4^{\frac{1}{2}})^{3}$. طبق قانون: $4^{\frac{1}{2} \times 3} = 4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$. همچنین میتوانیم مستقیماً محاسبه کنیم: $4^{\frac{1}{2}} = 2$ و سپس $2^3 = 8$.
- مثال ۲ (حرفها): عبارت $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}}$ را ساده کنید. با ضرب توانها: $x^{\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}} = x^{\frac{1}{2}}$. بنابراین $(x^{\frac{2}{3}})^{\frac{3}{4}} = \sqrt{x}$.
- مثال ۳ (ترکیبی): مقدار $(27^{\frac{2}{3}})^{\frac{1}{2}}$ را بیابید. $27^{\frac{2}{3} \times \frac{1}{2}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.
- مثال ۴ (ضرب پایهها): گاهی اوقات لازم است ابتدا پایه را ساده کنیم. برای $(16^{0.5})^{1.25}$ داریم: $16^{0.5 \times 1.25} = 16^{0.625} = 16^{\frac{5}{8}} = (\sqrt[8]{16})^5$. میدانیم $16 = 2^4$، بنابراین $16^{\frac{5}{8}} = (2^4)^{\frac{5}{8}} = 2^{4 \times \frac{5}{8}} = 2^{\frac{5}{2}} = \sqrt{2^5} = 4\sqrt{2}$.
در یک مسئلهٔ فیزیک، فرض کنید انرژی ذرهای با رابطه $E = (k^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{2}}$ داده شود. برای سادهسازی آن از قانون توانِ توان استفاده میکنیم: $E = k^{\frac{1}{3} \times \frac{3}{2}} = k^{\frac{1}{2}} = \sqrt{k}$. بنابراین انرژی با جذر ثابت $k$ متناسب است.
جدول مقایسه: توانهای صحیح در مقابل توانهای گویا
| ویژگی |
توان صحیح ($a^n$) |
توان گویا ($a^{\frac{m}{n}}$) |
| تعریف اصلی |
ضرب مکرر پایه در خودش |
ریشه $n$-ام عدد $a^m$ |
| شرط پایه |
برای توان منفی، $a \neq 0$ |
$a>0$ (برای جلوگیری از ریشههای زوج اعداد منفی) |
| مثال قانون توانِ توان |
$(2^3)^2 = 2^{6}$ |
$(2^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = 2^{2}$ |
| روش اثبات |
شمارش تعداد دفعات ضرب |
استفاده از خواص رادیکالها و توانهای صحیح |
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
❓ چرا شرط $a>0$ برای قانون $(a^r)^s = a^{rs}$ در حالت کلی ضروری است؟
زیرا اگر $a$ منفی باشد و $s$ یا $r$ شامل مخرج زوج باشند، با ریشهگیری از عدد منفی مواجه میشویم که در مجموعه اعداد حقیقی تعریف نشده است. برای مثال، $((-1)^{\frac{1}{2}})^2$ در اعداد حقیقی معنی ندارد، در حالی که اگر قانون را به صورت صوری اعمال کنیم، $(-1)^{1} = -1$ به دست میآید که این تناقض ناشی از نادیده گرفتن شرط اولیه است.
❓ آیا میتوانیم ترتیب اعمال توان را در $(a^r)^s$ عوض کنیم؟ یعنی آیا همیشه $(a^r)^s = (a^s)^r$ برقرار است؟
بله. از آنجا که هر دو طرف برابر $a^{rs}$ هستند و ضرب اعداد گویا خاصیت جابجایی دارد ($rs = sr$)، این تساوی همیشه برقرار است. برای مثال، $(4^{\frac{1}{2}})^{3} = 4^{1.5} = 8$ و $(4^{3})^{\frac{1}{2}} = 64^{\frac{1}{2}} = 8$.
❓ تفاوت $(a^r)^s$ با $a^{r^s}$ چیست؟
این دو عبارت کاملاً متفاوت هستند. در $(a^r)^s$، ابتدا $a^r$ محاسبه شده و سپس حاصل به توان $s$ میرسد (و با قانون ضرب توانها ساده میشود). اما در $a^{r^s}$، ابتدا $r^s$ محاسبه میشود و سپس $a$ به توان آن عدد میرسد. برای مثال، $(2^3)^2 = 8^2 = 64$ در حالی که $2^{3^2} = 2^{9} = 512$.
قانون $(a^r)^s = a^{rs}$ برای اعداد گویا، تعمیم طبیعی قانون متناظر برای اعداد صحیح است. این قاعده با تکیه بر تعریف توان گویا و خواص رادیکالها اثبات میشود و ابزاری قدرتمند برای سادهسازی عبارات جبری و حل معادلات نمایی به شمار میرود. به خاطر داشته باشید که اعتبار این قانون برای پایههای مثبت تضمین شده است و در غیر این صورت باید با احتیاط بیشتری عمل کرد. استفاده از این قانون درک ما را از عملیات روی توانها عمق میبخشد و افق جدیدی را در محاسبات ریاضی میگشاید.
پاورقی
1توان گویا (Rational Exponent): به توانی گفته میشود که به صورت یک عدد گویا (کسری) مانند $\frac{m}{n}$ نمایش داده میشود و بیانگر ترکیبی از توانگیری و ریشهگیری است. عدد $a^{\frac{m}{n}}$ به معنای ریشه $n$-ام عدد $a^m$ یا $(\sqrt[n]{a})^m$ است.
