قانون جمع توانهای گویا: پلی بین جبر و حساب
۱. مفهوم توان گویا و ریشههای عددی
برای درک قانون جمع توانها، ابتدا باید بدانیم یک عدد گویا به عنوان نما چه معنایی دارد. اگر r یک عدد گویا به صورت m/n (با n مثبت) باشد، آنگاه:
به عبارت دیگر، am/n یعنی «ریشهی nام a را به توان m برسان» یا «a را به توان m برسان و سپس ریشهی nام آن را محاسبه کن». شرط a > 0 تضمین میکند که ریشهگیری برای تمام اعداد گویا تعریف شده و یکتاست.
۲. اثبات قانون ar+s = ar · as
فرض کنید r = p/q و s = u/v دو عدد گویا باشند. برای اثبات، آنها را به یک مخرج مشترک تبدیل میکنیم. سادهترین حالت وقتی است که مخرجها یکسان باشند. در حالت کلی، میتوان از خواص رادیکالها و توانهای صحیح استفاده کرد. اثبات اصلی بر این اصل استوار است که توان گویا، توان صحیح را با ریشهگیری ترکیب میکند.
مثال عددی: فرض کنید a=16، r=1/2 و s=3/4. طرف راست معادله: 161/2 × 163/4. میدانیم 161/2 = 4 و 163/4 = (161/4)3 = 23 = 8. بنابراین طرف راست برابر 4 × 8 = 32 است. حال طرف چپ: r + s = 1/2 + 3/4 = 5/4. داریم 165/4 = (161/4)5 = 25 = 32. هر دو طرف برابر هستند.
۳. کاربرد در سادهسازی عبارتهای جبری
این قانون به ما اجازه میدهد عبارتهای پیچیده شامل متغیرها را سادهتر کنیم. برای مثال، عبارت x2/3 · x4/5 را در نظر بگیرید. با استفاده از قانون جمع توانها:
این سادهسازی در حل معادلات نمایی و لگاریتمی بسیار حیاتی است.
۴. جدول مقایسه: توانهای صحیح در برابر توانهای گویا
| ویژگی | توان صحیح (مثلاً an) | توان گویا (مثلاً am/n) |
|---|---|---|
| تعریف | ضرب مکرر پایه در خودش | ریشهگیری و توان صحیح همزمان |
| مثال | 23 = 8 | 82/3 = (∛8)2 = 4 |
| قانون جمع | am·an=am+n | ap/q·au/v=ap/q+u/v |
| شرط پایه | معمولاً a ∈ R | a > 0 (برای توابع حقیقی) |
۵. مثال عینی: رشد جمعیت و وامهای بانکی
فرض کنید جمعیت یک شهر سالانه با نرخ r رشد میکند. اگر بخواهیم جمعیت را بعد از 3/2 سال (یک سال و نیم) محاسبه کنیم، از عبارت P(0) × a3/2 استفاده میکنیم. حال اگر رشد در دو بازهی زمانی 1/2 ساله و 1 ساله جداگانه محاسبه شود، داریم:
که با محاسبهی مستقیم برای کل دوره همخوانی دارد. این اصل در محاسبهی بهرهی مرکب بانکی با دورههای کسری نیز کاربرد دارد2.
۶. چالشهای مفهومی
چالش ۱: چرا برای قانون جمع توانهای گویا حتماً باید a > 0 باشد؟
زیرا اگر a منفی باشد و توان گویا مخرج زوج داشته باشد (مثلاً (-2)1/2)، نتیجه در اعداد حقیقی تعریفنشده است. برای یکتایی و پیوستگی قانون در تمام اعداد گویا، پایه مثبت فرض میشود.
چالش ۲: آیا میتوانیم از این قانون برای جمع اعداد گویایی که صورت یا مخرجشان صفر است استفاده کنیم؟
بله، اما باید دقت کنیم. اگر r=0 باشد، a0=1 و قانون به as = 1 · as تبدیل میشود. اگر s صفر باشد نیز وضعیت مشابه است. مخرج کسر (که در ریشهگیری به کار میرود) هرگز نمیتواند صفر باشد، چون تقسیم بر صفر تعریفنشده است.
چالش ۳: چگونه قانون ar+s = ar as میتواند به حل معادلهای مانند 4x × 8x-1 = 16 کمک کند؟
ابتدا همهی پایهها را به یک پایه (مثلاً 2) تبدیل میکنیم: 4x = 22x و 8x-1 = 23(x-1). با استفاده از قانون جمع، داریم 22x+3x-3 = 25x-3 = 24. لذا 5x-3=4 و x = 7/5.
پاورقیها
1توان گویا (Rational Exponent): روشی برای نمایش ریشهها به کمک نماهای کسری. اگر n یک عدد طبیعی و m یک عدد صحیح باشد، am/n برابر است با ریشهی nام am.
2بهرهی مرکب (Compound Interest): بهرهای که بر اساس اصل پول و بهرههای انباشتهشدهی دورههای قبل محاسبه میشود و فرمول آن A = P(1 + r/n)nt است که در آن t میتواند کسری باشد.