زاویههای مرزی: نقطههای عطف دایره مثلثاتی
جایگاه زاویههای مرزی در دایره مثلثاتی
دایرهمثلثاتی یک دایره به شعاع 1 است که مرکز آن روی مبدأ مختصات قرار دارد . این دایره توسط دو محور x (محور کسینوسها) و y (محور سینوسها) به چهار قسمت مساوی به نام ربع تقسیم میشود . اما زاویههای 0°، 90°، 180°، 270° و 360° دقیقاً روی این مرزها قرار میگیرند و به همین دلیل به آنها زاویههای مرزی میگویند . این زاویهها در هیچیک از ربعهای چهارگانه قرار نمیگیرند، بلکه حد فاصل بین آنها هستند . درک موقعیت این زاویهها روی دایره، اولین گام برای محاسبه مقادیر نسبتهای مثلثاتی آنهاست.
جدول مقادیر نسبتهای مثلثاتی برای زاویههای مرزی
برای استفاده آسان و سریع، مقادیر سینوس، کسینوس و تانژانت برای این زاویهها در جدول زیر خلاصه شده است. این مقادیر از مبانی اولیه مثلثات هستند و به خاطر سپردن آنها بسیار کمککننده خواهد بود .
| زاویه (درجه) | سینوس (sin) | کسینوس (cos) | تانژانت (tan) |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 90° | 1 | 0 | تعریفنشده |
| 180° | 0 | -1 | 0 |
| 270° | -1 | 0 | تعریفنشده |
| 360° | 0 | 1 | 0 |
همانطور که در جدول مشاهده میکنید، در زاویههای 90° و 270° کسینوس صفر است و در نتیجه تانژانت که از تقسیم سینوس بر کسینوس به دست میآید، تعریفنشده خواهد بود . این نکته بسیار مهمی است که در حل مسائل باید به آن توجه داشت.
کاربرد عملی: از تئوری تا حل مسئله
فرض کنید در یک مسئله فیزیک، میخواهید مؤلفههای افقی و قائم یک بردار سرعت را محاسبه کنید. بردار سرعت v = 10 m/s را در نظر بگیرید که با محور افق زاویه 0° ساخته است. این بدان معناست که بردار کاملاً افقی است. در این صورت:
- مؤلفه افقی (vx):vx = v · cos 0° = 10 × 1 = 10 m/s
- مؤلفه قائم (vy):vy = v · sin 0° = 10 × 0 = 0 m/s
حال اگر همین بردار سرعت با محور افق زاویه 90° (عمودی) بسازد، خواهیم داشت:
- مؤلفه افقی:vx = v · cos 90° = 10 × 0 = 0 m/s
- مؤلفه قائم:vy = v · sin 90° = 10 × 1 = 10 m/s
این مثال ساده نشان میدهد که دانستن مقادیر نسبتهای مثلثاتی برای زاویههای مرزی چگونه به تحلیل مسائل دنیای واقعی کمک میکند.
چالشهای مفهومی و رفع ابهام
❓ چرا تانژانت 90° و 270° تعریفنشده است؟
تانژانت یک زاویه از فرمول tan θ = sin θ / cos θ به دست میآید. در زاویه 90°، cos 90° = 0 است. تقسیم هر عدد بر صفر در ریاضی تعریفنشده است و به سمت بینهایت میل میکند . از نظر هندسی نیز در دایرهمثلثاتی، خط واصل مرکز به نقطه (0,1) هرگز به محور تانژانت که بر دایره مماس است، برخورد نمیکند .
❓ چرا sin 180° با sin 0° برابر است اما cos 180° با cos 0° تفاوت دارد؟
در دایرهمثلثاتی، موقعیت نقاط را بررسی میکنیم. برای زاویه 0°، نقطه (1,0) و برای 180°، نقطه (-1,0) روی دایره قرار دارد. مختصات y (همان سینوس) در هر دو نقطه صفر است، اما مختصات x (همان کسینوس) در اولی 1+ و در دومی 1- است . این موضوع تغییر علامت در کسینوس را توضیح میدهد.
❓ آیا زاویههای 360° و 0° یکسان هستند؟
بله، از نظر موقعیت مکانی روی دایره و مقادیر نسبتهای مثلثاتی، زاویه 360° دقیقاً بر 0° منطبق میشود. به عبارت دیگر، پس از یک دور کامل پیمایش دایره به نقطه آغازین بازمیگردیم . بنابراین sin 360° = sin 0° = 0 و cos 360° = cos 0° = 1.
پاورقیها
1دایره مثلثاتی (Unit Circle): دایرهای به شعاع یک که مرکز آن بر مبدأ مختصات قرار دارد و برای مطالعه نسبتهای مثلثاتی زاویههای مختلف به کار میرود. هر نقطه روی محیط این دایره، مختصاتی برابر با (cos θ, sin θ) دارد .
