محور سینوسها: از مفهوم تا کاربرد در دایره مثلثاتی
آشنایی با دایرهٔ مثلثاتی و محورهای اصلی
دایرهٔ مثلثاتی که به آن دایرهٔ واحد3 هم گفته میشود، دایرهای به مرکز مبدأ مختصات $ (0,0) $ و به شعاع $ 1 $ است. این دایره یک ابزار قدرتمند در ریاضیات محسوب میشود، زیرا تعریف نسبتهای مثلثاتی را از حالت محدود مثلث قائمالزاویه خارج کرده و برای تمام زاویههای حقیقی (از $ 0 $ تا $ 360 $ درجه و بیشتر) قابل تعمیم میدهد . روی این دایره، دو محور اصلی داریم که به عنوان مرجع تعریف میشوند:
- محور افقی (محور xها): که به آن محور کسینوسها میگویند. مقدار کسینوس هر زاویه با طول نقطهی متناظر با آن زاویه روی دایره برابر است .
- محور عمودی (محور yها): که موضوع اصلی این مقاله است، محور سینوسها نام دارد. مقدار سینوس هر زاویه با عرض آن نقطه (فاصلهی عمودی از مبدأ) برابر است .
به عبارت سادهتر، اگر نقطهی $ P $ روی محیط دایرهٔ مثلثاتی متناظر با زاویهی $ \theta $ باشد، مختصات آن به صورت $ P(\cos \theta , \sin \theta) $ خواهد بود . بنابراین محور yها، خانهٔ دوم مختصات همهٔ نقاط روی دایره است و اینگونه است که به آن «محور سینوسها» میگویند. این محور از پایینترین نقطه یعنی $ (0 , -1) $ شروع شده و تا بالاترین نقطه یعنی $ (0 , 1) $ ادامه دارد .
چگونه مقدار سینوس را روی محور yها بخوانیم؟
خواندن مقدار سینوس از روی دایرهٔ مثلثاتی بسیار شهودی است. فرض کنید میخواهیم $ \sin 60^\circ $ را بیابیم:
- گام اول: زاویهٔ $ 60^\circ $ را به صورت پادساعتگرد از مبدأ زاویهها (نقطهٔ $ (1,0) $) روی دایره جدا میکنیم تا به نقطهٔ $ P $ برسیم.
- گام دوم: از نقطهٔ $ P $ خطی عمود بر محور xها رسم میکنیم تا به محور yها (محور سینوسها) برخورد کند. این خط همان تصویر نقطه بر روی محور عمودی است .
- گام سوم: فاصلهٔ این نقطهی برخورد تا مرکز دایره (مبدأ مختصات) روی محور y، مقدار $ \sin 60^\circ $ را نشان میدهد که برابر با $ \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $ است .
به همین ترتیب، برای زاویهٔ $ 90^\circ $ نقطهٔ $ P $ دقیقاً روی محور سینوسها و به فاصلهٔ $ 1 $ از مرکز قرار میگیرد، بنابراین $ \sin 90^\circ = 1 $. برای زاویهٔ $ 270^\circ $ (یا $ -90^\circ $) نقطه در پایینترین قسمت محور و به فاصلهٔ $ -1 $ قرار میگیرد، پس $ \sin 270^\circ = -1 $.
کاربرد محور سینوسها: تعیین علامت و دامنهٔ تغییرات
یکی از مهمترین کاربردهای محور سینوسها، تعیین علامت سینوس در ربعهای چهارگانه است. از آنجایی که محور سینوسها همان محور yهاست، علامت آن در بالای محور x (یعنی در ربعهای اول و دوم) مثبت و در پایین محور x (ربعهای سوم و چهارم) منفی است . این موضوع در جدول زیر به صورت خلاصه نشان داده شده است:
| ربع مثلثاتی | محدودهٔ زاویه | علامت سینوس (مقدار روی محور y) |
|---|---|---|
| ربع اول | $ (0^\circ , 90^\circ) $ | مثبت (+) |
| ربع دوم | $ (90^\circ , 180^\circ) $ | مثبت (+) |
| ربع سوم | $ (180^\circ , 270^\circ) $ | منفی (-) |
| ربع چهارم | $ (270^\circ , 360^\circ) $ | منفی (-) |
علاوه بر این، محور سینوسها به خوبی دامنهٔ تغییرات سینوس را نشان میدهد. از آنجایی که نقاط روی دایرهٔ واحد فقط میتوانند بین $ y = -1 $ و $ y = +1 $ حرکت کنند، مقدار سینوس هر زاویهای همواره در بازهٔ $ [-1 , 1] $ قرار دارد. این یعنی برای هیچ زاویهای سینوس بزرگتر از $ 1 $ یا کوچکتر از $ -1 $ نخواهیم داشت .
مثال عینی: استفاده از محور سینوسها در فیزیک
فرض کنید در یک مسئلهٔ فیزیک، یک جسم روی یک سطح شیبدار با زاویهٔ $ \theta $ قرار دارد. مؤلفهٔ عمودی وزن جسم که مسئول حرکت آن به سمت پایین شیب است، با سینوس زاویه ارتباط دارد. اگر این زاویه $ 30^\circ $ باشد، با نگاه به محور سینوسها در دایرهٔ مثلثاتی میبینیم که $ \sin 30^\circ = 0.5 $. یعنی نصف وزن جسم صرف حرکت آن روی شیب میشود. اما اگر سطح شیبدار تندتر شود، مثلاً $ \theta = 60^\circ $ باشد، آنگاه $ \sin 60^\circ \approx 0.87 $ است که نشان میدهد اکنون بخش بیشتری از وزن (حدود ۸۷٪) در راستای شیب مؤثر است. این یک کاربرد ساده و ملموس از مفهومی است که روی محور yهای دایرهٔ مثلثاتی قابل مشاهده است .
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
✅ پاسخ: بله، کاملاً درست است. محور سینوسها کل محور بینهایت yها را شامل میشود، از $ -\infty $ تا $ +\infty $، اما مقدار سینوس که روی این محور خوانده میشود، محدود به بخشی از آن بین $ -1 $ و $ +1 $ است . بنابراین چه در قسمت مثبت محور (ربع اول و دوم) و چه در قسمت منفی آن (ربع سوم و چهارم)، همچنان با محور سینوسها سروکار داریم و مقدار سینوس در قسمت منفی با علامت منفی نمایش داده میشود.
✅ پاسخ: خود محور سینوسها تنها یک خط است و برای تعیین سینوس یک زاویه، حتماً به موقعیت نقطهی متناظر با آن زاویه روی محیط دایره نیاز داریم. آن نقطه است که با عمود کردن بر محور y، مقدار سینوس را مشخص میکند . به عبارت دیگر، محور سینوسها یک خطکِش مدرج است و نقطهی روی دایره نقش «عقربهای» را دارد که مقدار را روی این خطکش نشانه میرود.
✅ پاسخ: نقطهی متناظر با زاویهٔ $ 150^\circ $ در ربع دوم، دارای مختصات $ (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}) $ است. عرض این نقطه ($ y = \frac{1}{2} $) مثبت است. از آنجا که محور سینوسها محور yهاست و این نقطه عرضی معادل $ 0.5 $ دارد، پس $ \sin 150^\circ = 0.5 $ خواهد بود . بنابراین علامت سینوس مستقیماً از علامت عرض نقطه (مکان آن روی محور عمودی) ناشی میشود.
پاورقی
2نسبتهای مثلثاتی (Trigonometric Ratios): شامل سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، سکانت و کسکانت که روابط میان زاویهها و اضلاع یک مثلث قائمالزاویه را بیان میکنند.
3دایرهٔ واحد (Unit Circle): همان دایرهٔ مثلثاتی است که شعاع آن دقیقاً ۱ واحد طول است.
