محور کسینوسها: خواندن مقدار cosθ روی دایره مثلثاتی
۱. دایره واحد و تعریف محور کسینوسها
دایره مثلثاتی که به آن دایره واحد نیز گفته میشود، دایرهای به شعاع 1 است که مرکز آن روی مبدأ مختصات (نقطه (0,0)) قرار دارد. در این دایره، هر زاویه مانند θ از جهت مثبت محور xها (ضلع ابتدای زاویه) آغاز شده و با حرکت در خلاف جهت عقربههای ساعت، ضلع پایانی آن زاویه، دایره را در نقطهای به مختصات (x,y) قطع میکند. در اینجا، x همان cosθ و y همان sinθ است. بنابراین محور افقی (محور xها) به عنوان محور کسینوسها شناخته میشود، زیرا مختصات x هر نقطه روی دایره، مستقیماً مقدار کسینوس آن زاویه را نشان میدهد.
برای مثال، اگر ضلع پایانی یک زاویه، دایره واحد را در نقطه (0.5 , 0.866) قطع کند، آنگاه کسینوس آن زاویه برابر 0.5 است. این مقدار، فاصلهٔ افقی نقطه تا مرکز دایره را نشان میدهد. در واقع cosθ تصویر شعاع بر روی محور xها است.
۲. علامت و تغییرات cosθ در ربعهای مختلف
با توجه به موقعیت ضلع پایانی زاویه در هر یک از چهار ربع دایره، علامت cosθ (و در نتیجه مختصات x) تغییر میکند. این تغییرات یکی از مبانی مهم در حل معادلات مثلثاتی است. در شکل زیر میتوانید علامت کسینوس را در هر ربع مشاهده کنید:
- ربع اول (زوایای ۰ تا ۹۰ درجه): x > 0، بنابراین cosθ > 0 (مثبت).
- ربع دوم (زوایای ۹۰ تا ۱۸۰ درجه): x < 0، بنابراین cosθ < 0 (منفی).
- ربع سوم (زوایای ۱۸۰ تا ۲۷۰ درجه): x < 0، بنابراین cosθ < 0 (منفی).
- ربع چهارم (زوایای ۲۷۰ تا ۳۶۰ درجه): x > 0، بنابراین cosθ > 0 (مثبت).
این اصل ساده به ما کمک میکند تا بدون نیاز به ماشین حساب، علامت کسینوس یک زاویهٔ دلخواه را تعیین کنیم. به عنوان مثال، زاویه ۱۲۰° (معادل (۲π/۳)) در ربع دوم قرار دارد، پس کسینوس آن منفی است.
۳. کاربرد عملی: محاسبه کسینوس زوایای معروف
یکی از بهترین راهها برای تثبیت مفهوم محور کسینوسها، بررسی مقادیر cosθ برای زوایای پرکاربرد است. جدول زیر مقادیر کسینوس را برای چند زاویهٔ مهم در ربع اول نشان میدهد. توجه کنید که با حرکت از زاویه ۰ به سمت ۹۰°، مختصات x (همان کسینوس) از ۱ به ۰ کاهش مییابد.
| زاویه بر حسب درجه | زاویه بر حسب رادیان | مقدار cosθ |
|---|---|---|
| ۰° | ۰ | ۱ |
| ۳۰° | π/۶ | √۳/۲ ≈ ۰.۸۶۶ |
| ۴۵° | π/۴ | √۲/۲ ≈ ۰.۷۰۷ |
| ۶۰° | π/۳ | ۱/۲ = ۰.۵ |
| ۹۰° | π/۲ | ۰ |
برای زاویه ۶۰°، نقطهٔ متناظر روی دایره واحد مختصات (۰.۵ , ۰.۸۶۶) است که نشان میدهد cos(۶۰°)=۰.۵. این یعنی اگر از این نقطه به محور xها عمود کنیم، در فاصله ۰.۵ واحد از مبدأ به آن برخورد میکنیم.
۴. چالشهای مفهومی
در زاویه ۹۰°، ضلع پایانی زاویه بر روی محور yها منطبق است. نقطهٔ برخورد این ضلع با دایره واحد، مختصات (۰,۱) میباشد. از آنجایی که کسینوس برابر مختصات x این نقطه است، مقدار آن صفر خواهد بود. به عبارت دیگر، تصویر این نقطه بر روی محور کسینوسها (محور xها) در مبدأ قرار دارد.
خیر. همانطور که اشاره شد، دامنهٔ تابع کسینوس [-۱ , ۱] است. این محدودیت به دلیل آن است که کسینوس در واقع طول تصویر بردار واحد بر روی محور افقی است و طول این تصویر هرگز از طول خود بردار (که ۱ است) تجاوز نمیکند. برای زاویه ۰°، بردار کاملاً بر محور x منطبق و تصویر آن بیشینه (+۱) و برای زاویه ۱۸۰°، بردار در خلاف جهت محور x قرار گرفته و تصویر آن کمینه (-۱) است.
علامت cosθ به تنهایی ربع دقیق را مشخص نمیکند، اما محدوده را محدود میسازد. اگر cosθ > ۰، زاویه میتواند در ربع اول یا چهارم باشد. اگر cosθ < ۰، زاویه در ربع دوم یا سوم قرار دارد. برای تعیین ربع دقیق، به علامت sinθ (مختصات y) نیز نیاز داریم. مثلاً اگر cosθ منفی و sinθ مثبت باشد، زاویه در ربع دوم است.
پاورقیها
1دایره واحد (Unit Circle): دایرهای به شعاع ۱ که مرکز آن در مبدأ دستگاه مختصات دکارتی قرار دارد. مبنای تعریف توابع مثلثاتی است.
2زاویه مرجع (Reference Angle): زاویهٔ حادهای که ضلع پایانی یک زاویه، با محور افقی (محور xها) میسازد. برای محاسبه توابع مثلثاتی در ربعهای دوم، سوم و چهارم کاربرد دارد.
