مختصات نقطه بر دایره مثلثاتی: پلی میان زاویه و نسبتهای مثلثاتی
۱. دایرهٔ واحد: تعریف و چرایی اهمیت آن
در ریاضیات، به ویژه در مبحث مثلثات، برای سادهسازی مفاهیم، دایرهای خاص به نام «دایرهٔ مثلثاتی» یا «دایرهٔ واحد» [1] تعریف میکنیم. این دایره دارای ویژگیهای منحصربهفردی است که محاسبات مربوط به زاویهها و نسبتهای مثلثاتی را بسیار شهودی و آسان میکند.
تعریف: دایرهٔ مثلثاتی، دایرهای است به مرکزیت مبدأ مختصات ((0,0)) و با شعاعی برابر با 1 واحد . به بیان دیگر، معادلهٔ این دایره در دستگاه مختصات دکارتی به صورت زیر است:
این معادله بسیار مهم است، زیرا هر نقطهای با مختصات (x, y) که روی این دایره قرار داشته باشد، باید در این رابطه صدق کند .
چرا شعاع 1؟ انتخاب شعاع 1 یک انتخاب هوشمندانه است. این کار باعث میشود که نسبتهای مثلثاتی (سینوس و کسینوس) مستقیماً از روی مختصات نقاط روی دایره قابل خواندن باشند، بدون نیاز به محاسبات اضافی. همانطور که در ادامه خواهیم دید، این سادگی، کلید درک عمیق مثلثات است.
۲. نگاشت زاویه به نقطه: ارتباط طلایی
مهمترین ایده در دایرهٔ مثلثاتی، نحوهٔ متناظر کردن یک زاویه با یک نقطه روی محیط دایره است. فرآیند کار به این صورت است:
- نقطهٔ شروع: حرکت خود را از نقطهٔ (1,0) که آن را با حرف A نشان میدهیم، آغاز میکنیم. این نقطه متناظر با زاویهٔ 0 درجه است .
- جهت حرکت: برای زوایای مثبت، خلاف جهت عقربههای ساعت حرکت میکنیم. برای زوایای منفی، در جهت عقربههای ساعت حرکت میکنیم .
- متناظر کردن: به اندازهٔ زاویهٔ مورد نظر (مثلاً θ) روی محیط دایره حرکت میکنیم تا به نقطهٔ P برسیم. حالا میگوییم این نقطهٔ P، متناظر با زاویهٔ θ است.
حال به مهمترین بخش میرسیم: مختصات نقطهٔ P چیست؟
این یک رابطهٔ دوسویه است. یعنی اگر مختصات نقطهای روی دایره را بدانیم، میتوانیم سینوس و کسینوس زاویهٔ متناظر با آن را بخوانیم و بالعکس.
۳. زوایای معروف و مختصات متناظرشان
برای زوایای پرکاربرد، مختصات نقاط متناظر روی دایره دارای مقادیر مشخصی هستند که به خاطر سپردن آنها بسیار مفید است. این مقادیر از هندسهٔ مثلثهای قائمالزاویهٔ متساویالساقین و نیمهمساویالاضلاع به دست میآیند.
| زاویه θ (درجه) | زاویه θ (رادیان) | مختصات نقطهٔ P (x, y) | cos θ و sin θ |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | (1, 0) | cos 0 = 1, sin 0 = 0 |
| 90° | π/2 | (0, 1) | cos 90° = 0, sin 90° = 1 |
| 180° | π | (-1, 0) | cos 180° = -1, sin 180° = 0 |
| 270° | 3π/2 | (0, -1) | cos 270° = 0, sin 270° = -1 |
| 360° | 2π | (1, 0) | cos 360° = 1, sin 360° = 0 |
برای زوایای 30° (π/6)، 45° (π/4) و 60° (π/3) نیز داریم :
۴. ربعهای دایره و علامت نسبتهای مثلثاتی
دایرهٔ مثلثاتی توسط محورهای مختصات به چهار قسمت مساوی به نام ربع تقسیم میشود . بسته به این که زاویه در کدام ربع قرار گیرد، علامت مختصات x و y (و در نتیجه علامت سینوس و کسینوس) متفاوت خواهد بود.
| ربع | محدودهٔ زاویه | علامت x (cos) | علامت y (sin) | مثال |
|---|---|---|---|---|
| ربع اول | 0 | مثبت (+) | مثبت (+) | (+,+) |
| ربع دوم | 90° | منفی (-) | مثبت (+) | (-,+) |
| ربع سوم | 180° | منفی (-) | منفی (-) | (-,-) |
| ربع چهارم | 270° | مثبت (+) | منفی (-) | (+,-) |
برای به خاطر سپردن علامتها، میتوانید از عبارت «هستک» استفاده کنید: همه (ربع اول) مثبت، سینوس (ربع دوم) مثبت، تانژانت (ربع سوم) مثبت، کسینوس (ربع چهارم) مثبت .
۵. مثالهای عینی و کاربردی
مثال ۱ (تعیین مختصات از روی زاویه): مختصات نقطهٔ متناظر با زاویهٔ 120° را بیابید.
حل: زاویهٔ 120° در ربع دوم قرار دارد. زاویهٔ متمم آن با محور xها 180° - 120° = 60° است. مختصات نقطه برای زاویهٔ 60° برابر (1/2, √3/2) است. اما چون در ربع دوم هستیم، x (کسینوس) منفی و y (سینوس) مثبت است. بنابراین:
مثال ۲ (تعیین زاویه از روی مختصات): فرض کنید نقطهٔ P(0.5, -0.866) روی دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد. زاویهٔ متناظر با آن کدام است؟
حل: مقدار x = 0.5 مثبت و y = -0.866 منفی است. بنابراین نقطه در ربع چهارم قرار دارد. مقدار 0.866 تقریباً برابر √3/2 است. زاویهای که cos θ = 0.5 و sin θ = √3/2 دارد، 60° است. اما در ربع چهارم، زاویه به صورت 360° - 60° = 300° یا معادل رادیانی آن 5π/3 خواهد بود .
مثال ۳ (تشخیص قرار گرفتن نقطه روی دایره): آیا نقطهٔ P(0.6, 0.8) روی دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد؟
حل: بررسی میکنیم که آیا مختصاتش در معادلهٔ دایره صدق میکند یا خیر: (0.6)² + (0.8)² = 0.36 + 0.64 = 1. چون حاصل برابر 1 شد، این نقطه روی دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد . بنابراین میتوان نتیجه گرفت که به ازای زاویهای مانند θ، داریم cos θ = 0.6 و sin θ = 0.8.
۶. چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا ممکن است یک نقطه با مختصات (0.8, 0.8) روی دایرهٔ مثلثاتی باشد؟ چرا؟
خیر. زیرا طبق معادلهٔ دایره، باید مجموع مربعات طول و عرض نقطه برابر 1 شود. (0.8)² + (0.8)² = 0.64 + 0.64 = 1.28 است که از 1 بزرگتر است. چنین نقطهای خارج از دایرهٔ مثلثاتی قرار میگیرد.
❓ چالش ۲: اگر بدانیم sin θ = 0.6، چند نقطهٔ مختلف روی دایرهٔ مثلثاتی میتوانیم داشته باشیم که این شرط را ارضا کنند؟
دو نقطه. یک نقطه در ربع دوم (که سینوس مثبت است) و یک نقطه در ربع اول (که سینوس مثبت است). در واقع خط افقی y = 0.6، دایره را در دو نقطه قطع میکند. مختصات x این دو نقطه با هم مخالف هستند (±√(1-0.36) = ±0.8). بنابراین زاویههای متناظر یکی در ربع اول (≈ 36.87°) و دیگری در ربع دوم (≈ 143.13°) خواهد بود.
❓ چالش ۳: چرا در دایرهٔ مثلثاتی، مقدار سینوس و کسینوس هرگز از 1 و -1 فراتر نمیرود؟
زیرا مختصات x و y یک نقطه روی دایره، نشاندهندهٔ طول و عرض آن نقطه هستند. از آنجایی که شعاع دایره 1 است، نقطهٔ روی دایره حداکثر میتواند 1 واحد از مرکز در راستای افقی یا عمودی فاصله داشته باشد. این فاصله همان |x| و |y| است که برابر با |cos θ| و |sin θ| میباشند .
نکتهٔ پایانی: دایرهٔ مثلثاتی تنها یک نمودار نیست، بلکه یک ماشین مفهومساز قدرتمند است. با به خاطر سپردن این ایده که x = cos θ و y = sin θ، میتوانید بسیاری از اتحادها و روابط مثلثاتی را به صورت شهودی درک کرده و از حفظ کردن طوطیوار آنها رهایی یابید. این چهارچوب ساده، پایه و اساس مباحث پیشرفتهتری مانند توابع مثلثاتی، معادلات و امواج سینوسی در فیزیک است .
پاورقیها
1دایرهٔ واحد (Unit Circle): به دایرهای با شعاع 1 گفته میشود که مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد. در ریاضیات، از این دایره برای تعریف توابع مثلثاتی برای تمام زوایای حقیقی استفاده میشود.
