رابطه تانژانت: sinA/cosA
رابطهٔ بنیادی $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ یکی از پایهایترین مفاهیم در مثلثات است که ارتباط میان سه نسبت اصلی سینوس، کسینوس و تانژانت را برقرار میکند. در این مقاله با زبانی ساده و با ارائه مثالهای عددی، به بررسی این رابطه، شرایط برقراری آن (نقاط تعریفناپذیر)، کاربردهای عملی در هندسه و فیزیک و همچنین چالشهای مفهومی پیرامون آن میپردازیم. هدف، درک عمیق این نسبت و تمایز آن با نسبت $ \cot A $ است.
۱. تعریف تانژانت در مثلث قائمالزاویه
در یک مثلث قائمالزاویه با زاویۀ حاد $A$، سینوس به صورت نسبت ضلع مقابل به وتر و کسینوس به صورت نسبت ضلع مجاور به وتر تعریف میشود. تانژانت یک زاویه از تقسیم این دو نسبت به دست میآید:
$ \tan A = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}} = \frac{\frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}}{\frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}} = \frac{\sin A}{\cos A} $برای مثال، اگر در مثلثی زاویه $A = 30^\circ$ باشد، داریم: $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ و $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. بنابراین:
$ \tan 30^\circ = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 $۲. دایرهٔ واحد مثلثاتی و تعمیم رابطه
در دایرهٔ واحد مثلثاتی (دایرهای به شعاع $1$)، مختصات نقطۀ روی محیط دایره متناظر با زاویۀ $A$ به صورت $(\cos A, \sin A)$ است. در اینجا تانژانت برابر است با شیب خط واصل مبدأ به آن نقطه:
$ \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} $با این تعریف، رابطه برای تمام زوایا (به جز نقاطی که کسینوس صفر است) برقرار خواهد بود. برای نمونه، زاویۀ $A = 135^\circ$ را در نظر بگیرید: $\sin 135^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ و $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. در نتیجه:
$ \tan 135^\circ = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = -1 $این مثال نشان میدهد تانژانت میتواند مقادیر منفی نیز داشته باشد.
۳. جدول مقادیر ویژهٔ سینوس، کسینوس و تانژانت
| زاویه $A$ (درجه) | $\sin A$ | $\cos A$ | $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3} \approx 1.732$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | تعریفنشده |
۴. کاربرد عملی: محاسبه ارتفاع و شیب
فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک دکل مخابراتی را بدون اندازهگیری مستقیم به دست آوریم. در فاصلهٔ $50$ متری پای دکل، زاویهٔ ارتفاع1 را $30^\circ$ اندازه میگیریم. اگر ارتفاع دکل را $h$ بنامیم، داریم:
$ \tan 30^\circ = \frac{h}{50} \Rightarrow h = 50 \times \tan 30^\circ \approx 50 \times 0.577 = 28.85 \text{ متر} $همچنین در جادهسازی، درصد شیب جاده برابر تانژانت زاویۀ شیب (ضرب در $100$) است. اگر زاویۀ شیب جادهای $5^\circ$ باشد، درصد شیب آن برابر $100 \times \tan 5^\circ \approx 8.75\%$ خواهد بود.
۵. چالشهای مفهومی پیرامون رابطه $\tan A = \sin A / \cos A$
۱. چرا تانژانت زاویۀ $90^\circ$ تعریفنشده است؟
زیرا مطابق رابطه، $\tan 90^\circ = \frac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \frac{1}{0}$ که در ریاضیات تقسیم بر صفر معنا ندارد. در دایرهٔ واحد نیز خط متناظر با این زاویه، عمودی است و شیبی تعریفنشده دارد.
۲. آیا ممکن است تانژانت دو زاویۀ متفاوت برابر باشد؟
بله، تابع تانژانت متناوب2 با دورۀ $180^\circ$ است. یعنی $\tan(\alpha + 180^\circ) = \tan \alpha$. برای نمونه $\tan 30^\circ = \tan 210^\circ = 0.577$.
۳. تفاوت $\tan A$ با $\cot A$ چیست؟
کتانژانت3 عکس تانژانت است: $\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}$. بنابراین این دو نسبت تا جایی که هرکدام تعریف شدهاند، معکوس یکدیگرند.
ارتباط سهگانه: رابطهٔ $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$ نه فقط یک فرمول حفظی، بلکه بیانگر ارتباط عمیق هندسی بین اضلاع مثلث و دایرهٔ واحد است. این نسبت به ما اجازه میدهد با داشتن یکی از مقادیر سینوس یا کسینوس و در نظر گرفتن علامت آنها در ربعهای مختلف، مقدار دقیق تانژانت را بیابیم و بالعکس. همچنین این نسبت پایهٔ بسیاری از اتحادهای مثلثاتی دیگر مانند $1 + \tan^2 A = \sec^2 A$ است.
پاورقیها
1زاویه ارتفاع (Angle of Elevation): زاویه بین خط افق و خط دید ناظر به یک نقطۀ بالاتر.
2متناوب (Periodic): خاصیتی از یک تابع که در فواصل منظم تکرار میشود. دورۀ تانژانت $\pi$ رادیان یا $180^\circ$ است.
3کتانژانت (Cotangent): یکی از نسبتهای مثلثاتی و معکوس تانژانت که به صورت $\cot A = \frac{\cos A}{\sin A}$ تعریف میشود.
