کسینوس زاویه: راهنمای جامع از تعریف تا کاربرد
مثلث قائمالزاویه و اعضای آن
پیش از پرداختن به خود کسینوس، باید با خانهای که این مفهوم در آن سکونت دارد، یعنی مثلث قائمالزاویه1، آشنا شویم. همانطور که از نامش پیداست، این مثلث دارای یک زاویه قائمه ($90^\circ$) است. اضلاع این مثلث نامهای خاصی دارند که در مثلثات بسیار کلیدی هستند. اگر یکی از زاویههای حاده (غیر از ۹۰ درجه) را به عنوان زاویه مرجع $\theta$ در نظر بگیریم :
- ضلع مقابل: ضلعی که دقیقاً روبروی زاویه $\theta$ قرار دارد.
- ضلع مجاور: ضلعی که یکی از دو ضلع زاویه $\theta$ است و آن را به زاویه قائمه متصل میکند.
- وتر: ضلعی که روبروی زاویه قائمه قرار دارد و همواره بلندترین ضلع مثلث است .
تعریف کسینوس: نسبت مجاور به وتر
حال به سراغ تعریف اصلی میرویم. در یک مثلث قائمالزاویه با زاویه حاده $\theta$، کسینوس زاویه $\theta$ که آن را با $\cos \theta$ نشان میدهیم، برابر است با نسبت طول ضلع مجاور به زاویه $\theta$ به طول وتر .
این یک نسبت ساده است و چون وتر همواره از ضلع مجاور بلندتر است، مقدار کسینوس برای زاویههای حاده همواره بین صفر و یک قرار دارد . به بیان دیگر، $0 \lt \cos \theta \lt 1$.
مثال عینی: محاسبه گامبهگام کسینوس
فرض کنید یک مثلث قائمالزاویه داریم که اضلاع آن $3$، $4$ و $5$ سانتیمتر هستند (این یک مثلث مشهور است). زاویه $\theta$ را مقابل ضلعی به طول $3$ در نظر بگیرید. در این صورت:
- ضلع مقابل به $\theta$ برابر $3$ است.
- ضلع مجاور به $\theta$ برابر $4$ است.
- وتر برابر $5$ است.
بنابراین، کسینوس این زاویه به سادگی محاسبه میشود:
این یعنی زاویه $\theta$ تقریباً $36.87^\circ$ است که به $37^\circ$ معروف است .
جدول مقادیر کسینوس برای زوایای پرکاربرد
برای پیشرفت در ریاضیات و فیزیک، به خاطر سپردن کسینوس برخی زوایای کلیدی بسیار کمککننده است. جدول زیر این مقادیر را نشان میدهد :
| زاویه (درجه) | زاویه (رادیان) | مقدار کسینوس ($\cos \theta$) |
|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ |
| $30^\circ$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{1}{2} = 0.5$ |
| $90^\circ$ | $\frac{\pi}{2}$ | $0$ |
کاربرد عملی: تجزیه بردارها در فیزیک
یکی از مهمترین کاربردهای کسینوس، در فیزیک و برای تجزیه بردارها به مؤلفههای افقی و عمودی است. فرض کنید یک نیروی $F$ با زاویه $\theta$ نسبت به سطح افق به جسمی وارد میشود . برای دانستن اینکه چه مقدار از این نیرو در جابجایی افقی جسم نقش دارد، از کسینوس زاویه استفاده میکنیم.
مثال: یک طنابکش، طناب را با نیروی $200$ نیوتن و با زاویه $60^\circ$ نسبت به زمین میکشد. مؤلفه افقی نیرو که باعث حرکت قایق به جلو میشود، برابر است با :
همانطور که میبینید، با کمک کسینوس توانستیم تأثیر واقعی نیرو را در جهت حرکت محاسبه کنیم.
چالشهای مفهومی رایج درباره کسینوس
❓ چالش ۱: آیا کسینوس یک زاویه میتواند بیشتر از $1$ شود؟
✅ پاسخ: خیر. در مثلث قائمالزاویه، وتر بلندترین ضلع است. بنابراین، وقتی ضلع مجاور (که کوچکتر یا مساوی وتر است) بر وتر تقسیم میشود، نتیجه هرگز از $1$ بزرگتر نمیشود. برای زاویه $0^\circ$، ضلع مجاور و وتر بر هم منطبق میشوند و کسینوس برابر $1$ است که حداکثر مقدار آن میباشد .
❓ چالش ۲: تفاوت کسینوس یک زاویه در مثلث و در دایره مثلثاتی چیست؟
✅ پاسخ: تعریف اصلی از مثلث قائمالزاویه میآید، اما برای زوایای بزرگتر از $90^\circ$، مثلث قائمالزاویه نداریم. اینجا دایره مثلثاتی2 به کمک ما میآید. در دایره مثلثاتی، کسینوس یک زاویه برابر با طول افقی (مختصات $x$) برخورد شعاع با دایره است. به این ترتیب، کسینوس میتواند مقادیر منفی نیز پیدا کند .
❓ چالش ۳: چگونه $\cos 37^\circ$ را سریع به خاطر بسپاریم؟
✅ پاسخ: از مثلث $3-4-5$ استفاده کنید. در این مثلث، کسینوس زاویه مقابل به ضلع $3$ برابر $\frac{4}{5}=0.8$ و کسینوس زاویه مقابل به ضلع $4$ برابر $\frac{3}{5}=0.6$ است. همچنین میتوانید در دایره مثلثاتی به یاد آورید که $37^\circ$ به محور $x$ مثبت (کسینوسهای بزرگ) نزدیکتر است، پس کسینوس آن عدد بزرگتر یعنی $0.8$ خواهد بود .
پاورقی
[1] مثلث قائمالزاویه: (Right Triangle) به مثلثی گفته میشود که یک زاویه آن دقیقاً $90^\circ$ باشد. قضیه فیثاغورس و تعریف نسبتهای مثلثاتی بر اساس این نوع مثلث بنا نهاده شدهاند .
[2] دایره مثلثاتی: (Unit Circle) دایرهای به شعاع $1$ واحد است که برای تعمیم نسبتهای مثلثاتی به تمام زوایای حقیقی استفاده میشود. مرکز آن در مبدأ مختصات قرار دارد .
