مثلثشناسی پایه: وتر، ضلع مقابل و مجاور زاویه
تعریف و شناسایی اضلاع در مثلث قائمالزاویه
هر مثلث قائمالزاویه از سه ضلع تشکیل شده که یکی از زوایای آن دقیقاً 90 درجه است. به این زاویه، زاویهٔ قائمه میگویند. سه ضلع این مثلث نامهای ویژهای دارند:
- وتر: بلندترین ضلع مثلث که همواره روبهروی زاویهٔ قائمه قرار دارد.
- ضلع مقابل: برای یک زاویهٔ حاده (غیر از قائمه)، ضلعی که روبهروی آن زاویه قرار میگیرد.
- ضلع مجاور: برای همان زاویهٔ حاده، ضلعی که بین زاویه و زاویهٔ قائمه قرار دارد (به جز وتر).
برای درک بهتر، یک مثلث قائمالزاویه با رأسهای A و B و C در نظر بگیرید که زاویهٔ قائمه در رأس C باشد. اضلاع به این صورت نامگذاری میشوند:
| ضلع | موقعیت نسبت به زاویهٔ A | موقعیت نسبت به زاویهٔ B |
|---|---|---|
| AB (وتر) | روبهروی زاویهٔ قائمه (C) | روبهروی زاویهٔ قائمه (C) |
| BC | مجاور (بین A و C) | مقابل (روبهروی B) |
| AC | مقابل (روبهروی A) | مجاور (بین B و C) |
رابطهٔ وتر با اضلاع دیگر: قضیهٔ فیثاغورس
معروفترین رابطه در مثلث قائمالزاویه، قضیهٔ فیثاغورس1 است که ارتباط میان وتر و دو ضلع دیگر (ساقها) را بیان میکند. اگر طول وتر را با c و طول دو ضلع دیگر را با a و b نشان دهیم، داریم:
برای مثال، اگر طول دو ضلع زاویهٔ قائمه به ترتیب 3 و 4 سانتیمتر باشند، وتر برابر است با:
این رابطه به ما اجازه میدهد در صورت داشتن دو ضلع، ضلع سوم را پیدا کنیم و موقعیت اضلاع مقابل و مجاور را نسبت به زاویهٔ مورد نظر تعیین کنیم.
نسبتهای مثلثاتی بر اساس ضلع مقابل و مجاور
با ثابت بودن زاویهٔ مورد نظر، نامگذاری اضلاع تغییر میکند. برای زاویهٔ حاده مانند θ در مثلث قائمالزاویه، سه نسبت اصلی به این صورت تعریف میشوند:
- سینوس (sin): نسبت ضلع مقابل به وتر
- کسینوس (cos): نسبت ضلع مجاور به وتر
- تانژانت (tan): نسبت ضلع مقابل به ضلع مجاور
| نسبت | فرمول ریاضی | مثال (زاویهٔ 30 درجه) |
|---|---|---|
| سینوس | $\sin\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$ | $0.5$ |
| کسینوس | $\cos\theta = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
| تانژانت | $\tan\theta = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}$ | $\frac{1}{\sqrt{3}}$ |
کاربرد عملی: تعیین ارتفاع با استفاده از زاویه
فرض کنید میخواهید ارتفاع یک ساختمان را بدون اندازهگیری مستقیم به دست آورید. در فاصلهٔ 50 متری از ساختمان میایستید و زاویهٔ بین خط افق و خطی که به بالای ساختمان میرود (زاویهٔ ارتفاع2) را 35 درجه اندازه میگیرید. در اینجا:
- فاصلهٔ افقی (ضلع مجاور زاویه) = 50 متر
- ارتفاع ساختمان (ضلع مقابل زاویه) = مجهول
- وتر، خط دید شما به بالای ساختمان است.
با استفاده از تانژانت زاویه داریم: $\tan(35^{\circ}) = \frac{\text{ارتفاع}}{50}$
با جایگذاری $\tan(35^{\circ}) \approx 0.7$، ارتفاع برابر $50 \times 0.7 = 35$ متر بهدست میآید.
چالشهای مفهومی در شناسایی اضلاع
❓ اگر زاویهٔ قائمه را به عنوان زاویهٔ مبنا در نظر بگیریم، ضلع مقابل و مجاور چگونه تعریف میشوند؟
زاویهٔ قائمه (90°) حالت خاصی است. در این حالت ضلع مقابل، همان وتر است (چون روبهروی زاویهٔ قائمه قرار دارد) و دو ضلع دیگر هر دو مجاور محسوب میشوند، اما در مثلثات معمولاً زوایای حاده مبنا قرار میگیرند.
❓ آیا در مثلثهای غیرقائمالزاویه هم میتوان از مفاهیم ضلع مقابل و مجاور استفاده کرد؟
بله، در هر مثلث دلخواه برای هر زاویه، دو ضلع دیگر «مجاور» آن زاویه هستند (چون از آن زاویه خارج میشوند) و ضلع روبهرو «مقابل» است. اما نسبتهای مثلثاتی مانند سینوس و کسینوس برای زوایای غیرقائمه نیازمند تعمیم (قانون سینوسها و کسینوسها) هستند.
❓ چرا همیشه وتر بزرگترین ضلع مثلث قائمالزاویه است؟
بر اساس قضیهٔ فیثاغورس، مربع وتر برابر مجموع مربعات دو ضلع دیگر است. از آنجایی که مربع هر عدد مثبت بزرگتر از صفر است، مجموع دو مربع از هر یک از آنها بزرگتر خواهد بود، بنابراین وتر از هر یک از دو ضلع دیگر بزرگتر است.
پاورقیها
1فیثاغورس (Pythagoras): ریاضیدان و فیلسوف یونانی که قضیهٔ معروف او در مورد مثلث قائمالزاویه به صورت $a^2 + b^2 = c^2$ خلاصه میشود.
2زاویهٔ ارتفاع (Angle of Elevation): زاویهای که خط دید ناظر با خط افق میسازد، وقتی به بالای یک نقطه نگاه میکند.
3سینوس، کسینوس، تانژانت (Sine, Cosine, Tangent): نسبتهای اصلی مثلثاتی که بر اساس اضلاع مثلث قائمالزاویه تعریف میشوند.
